3.2.1 双曲线（第一课时）（教师版）.docx

3.2.1 双曲线 思维导图 常见考法 考点一 双曲线的定义 【例1】（1）（2020·日喀则市拉孜高级中学高二期末（文））到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 （2）（2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他（理））已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ） A．38 B．24 C．38或10 D．24或4 【答案】（1）B（2）B 【解析】（1）∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6， 而|F1F2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B． （2）由题意可得，，，因为，所以点P在双曲线C的下支上， 则，故．故选：B. 【一隅三反】 1．（2020·广东濠江.金山中学高三三模（文））已知，则动点的轨迹是（　） A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 【答案】A 【解析】因为，故动点的轨迹是一条射线，其方程为：，故选A. 2（2020·浙江杭州.高二期末）已知平面中的两点，则满足的点M的轨迹是 （ ） A．椭圆 B．双曲线 C．一条线段 D．两条射线 【答案】B 【解析】由题意得：，且=4,因为，因此符合双曲线的定义，故点M的轨迹是双曲线，故选：B. 3．（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】双曲线的， 点在双曲线的右支上，可得， 点在双曲线的左支上，可得， 由可得在双曲线的左支上，可得，即有.　故选：B. 考点二 双曲线定义的运用 【例2】（1）（2020·江西高二期末（文））已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 （ ） A．8 B．9 C．16 D．20 (2)（2020·四川南充.高二期末（理））设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于 A． B． C． D． 【答案】（1）B(2)D 【解析】（1）由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|+|BF2|＝16． 据双曲线定义，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|，所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16﹣4＝12， 即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B． (2)设，则由双曲线的定义可得 故，又， 故，故， 所以的面积为.故选：D. 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积． (2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积． 【一隅三反】 1．（2020·宁夏兴庆.银川九中）已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】双曲线化为标准方程可得即 由双曲线定义可知,所以, 又因为,所以, 由以上两式可得,由得, 所以,解得,故选:A. 2．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵双曲线中∴ ∵∴ 作边上的高，则∴ ∴的面积为故选C 3．（2020·吉林松原）已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解析】依题意，. 在三角形中， ，由正弦定理得， 即，由于为锐角，所以. 根据双曲线的定义得. 在三角形中，由余弦定理得， 即， 即， 即，所以. 故选：B 【例2-2】（2020·安徽贵池。池州一中高二期末（理））方程表示双曲线的充分不必要条件是（ ） A． 或 B． C． D． 或 【答案】C 【解析】方程表示双曲线，可得，解得或； 记集合或；所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集， 由于，故选：． 【一隅三反】 1．（2020·全国高二课时练习）若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程表示双曲线， 则，得， 由可以得到，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立； 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：． 2．（2020·辽宁高三其他（理））若，则是方程表示双曲线的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为Ü， 所以是方程表示双曲线的必要不充分条件， 故选：B 3．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（文））若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把曲线转化为， 因为曲线表示焦点在轴上的双曲线， 所以，即，解得. 故选：B. 考点三 双曲线标准方程 【例3】（2019·吴起高级中学高二期末（理））在下列条件下求双曲线标准方程 （1）经过两点； （2），经过点，焦点在轴上. (3)过点(3，－)，离心率e＝； (4)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)． 【答案】（1）;（2）（3） ； （4）. 【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为. （2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为. (3)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为(a＞0，b＞0)． 因为双曲线过点(3，－)，则.① 又e＝，故a2＝4b2.② 由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为. 若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为 (a＞0，b＞0)． 同理可得b2＝－ ，不符合题意． 综上可知，所求双曲线的标准方程为. (4)由2a＝2b得a＝b，所以 e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(4，－ )，所以 16－10＝λ，即λ＝6. 所以 双曲线方程为x2－y2＝6.所以 双曲线的标准方程为. 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为： 【一隅三反】 1．（2019·重庆大足）焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为的双曲线的标准方程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的实轴长是，虚轴长是所以，所以 所以双曲线的标准方程是故选：A 2．（2020·四川高二期末（文））已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线与椭圆有公共焦点由椭圆可得双曲线离心率， 双曲线的方程为：故选：C 3．（2020·河南林州一中高二月考（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，为该双曲线上一点，为其左、右焦点，且，，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则由渐近线方程为，， 又， 所以 两式相减，得， 而，所以， 所以，所以，， 故双曲线的方程为. 故选：D 4．（2020·全国）已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线右焦点为，连接， 左焦点到渐近线的距离为， 故， 在中，，由双曲线定义得， 在中，由余弦定理得， 整理得，即， 又，解得，， 双曲线方程为. 故选：D. 考点四 渐近线 【例4】（2020·湖南开福）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上， 且满足，可得，，， 由双曲线的定义可知，即， 又由，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C. 【一隅三反】 1．（2020·浙江柯桥）双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.故选：A. 2．（2020·邢台市第八中学高二期末）双曲线的顶点到渐近线的距离是__________. 【答案】 【解析】双曲线的标准方程为，故双曲线顶点为，渐近线方程为.点到直线的距离为.故填. 3．（2020·云南省下关第一中学）已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A. 5．（2020·全国高三三模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点．若周长的最小值为，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【解析】的周长为 ， 故，而，故，所以双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 13 / 13