“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y＝f(x)(a≤x≤b)和x轴之间的图形，叫作函数y＝f(x)在区间[a，b]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲．3．定积分的概念设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn＝b.记小区间[xk－1，xk]为Δk，其长度xk－xk－1记作Δxk，Δxk中最大的记作d，再在每个小区间Δk上任取一点代表点zk，作和式：(zk)Δxk.①如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式①以S为极限，就说函数f(x)在[a，b]上可积，并且说S是f(x)在[a，b]上的定积分，记作S＝f(x)dx.4．微积分基本定理如果f(x)是在[a，b]上有定义的连续函数，F(x)在[a，b]上可导并且F′(x)＝f(x)，则f(t)dt＝F(b)－F(a)．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.4．如图所示，如何用阴影面积S1，S2，S3表示定积分f(x)dx的值？“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/提示：f(x)dx＝S1－S2＋S3.利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)(4x－x2)dx;(2)(x－1)5dx；(3)(t＋2)dx;(4)dx.[自主解答](1)取F(x)＝2x2－，因为F′(x)＝4x－x2，所以(4x－x2)dx＝F(3)－F(－1)＝－＝.(2)因为′＝(x－1)5，所以(x－1)5dx＝F(2)－F(1)＝×(2－1)6－×(1－1)6＝.(3)取F(x)＝(t＋2)x，因为F′(x)＝t＋2，所以(t＋2)dx＝F(2)－F(1)＝2(t＋2)－(t＋2)＝t＋2.(4)f(x)＝...
