3.3 幂函数.docx

3.3幂函数 一、单选题 1．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2．下列结论中，正确的是（ ） A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 3．函数（）的最小值为（ ） A．1 B．5 C．8 D．10 4．已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（ ） A．64 B． C． D． 5．函数y＝的图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ） A． B． C． D． 7．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 9．(多选)下列关于幂函数的性质说法正确的有（ ） A．当时，函数在其定义域上递减 B．当时，函数图象是一条直线 C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为 三、填空题 10．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为___________. 11．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 四、解答题 12．已知函数是幂函数，求的值． 13．比较下列各组中两个数的大小，并说明理由． （1），； （2），． 14．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 参考答案 1．B 【分析】 根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】 因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 2．C 【分析】 对于AD，举例判断，对于BC，由幂函数的性质判断即可 【详解】 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误； 因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误； 当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确； 当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误． 故选：C. 3．A 【分析】 结合幂函数的单调性判断出函数上单调递增，进而可以求出最小值. 【详解】 因为幂函数在上单调递增，所以在上单调递增，因此， 故选：A. 4．D 【分析】 设幂函数，结合已知条件求出的值，进而可以求出结果. 【详解】 幂函数的图象过点， ，解得， ， （4）， 故选：. 5．A 【分析】 判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法） 【详解】 由题意，设，，所以函数的奇函数，故排除C; 当时，，当时，，排除, 故选:A. 6．B 【分析】 根据幂函数的图象与性质，结合指数变化时的规律即可求解. 【详解】 对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减， 根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ， 因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限， 在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为， 所以的图象位于和之间，所以经过卦限， 所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是， 故选：B 7．A 【分析】 ，由结合函数的递减区间可得结果. 【详解】 ， 由得，又， 所以函数的单调递减区间为. 故选：． 8．AC 【分析】 根据所给条件结合幂函数的意义，求出幂函数的解析式再探讨其性质即可得解. 【详解】 因是幂函数，设，而其图象过点， 即，解得，于是得，且定义域为R， 显然是R上增函数，C正确； ，则为R上奇函数．A正确． 故选：AC 9．CD 【分析】 根据幂函数的图象性质判定单调性、奇偶性和特殊点. 【详解】 当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误； 当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误； 当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确； 当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确. 故选：CD. 10． 【分析】 设，将，得到函数的解析式，根据幂函数的奇偶性和单调性可求出的范围. 【详解】 设，则，解得， 所以，此时为上的递增函数，且为奇函数， 所以等价于， 所以 ，即，所以或. 故答案为： 11． 【分析】 判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】 由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 12．-6 【分析】 根据幂函数的定义列方程组，解出m、n，即可求出的值． 【详解】 因为是幂函数， 所以，解得， 所以． 13．（1），理由见解析；（2），理由见解析. 【分析】 （1）利用幂函数的单调性即可判断； （2）利用幂函数的单调性进行比较即可. 【详解】 （1）根据题意，幂函数在定义域上是增函数，而，所以． （2）幂函数在定义域上是增函数，而，所以． 14．（1）；（2）；（3）2． 【分析】 （1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解； （3）由基本不等式求得最小值． 【详解】 解析：（1）．， ， （） 即或 在上单调递增，为偶函数 即 （2） ，，， ∴ （3）由题可知， ， 当且仅当，即，时等号成立． 所以的最小值是2． 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司