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课时作业 13 一、选择题 1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个　B．2个 C．3个 D．4个 解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以． 答案：C 2．已知t>0，则y＝的最小值为(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．－5 解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2. 答案：B 3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 解析：∵a2＋b2≥2ab， ∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab， 即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4， ∴a2＋b2≥2. 答案：C 4．若a，b都是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号． 答案：C 二、填空题 5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1. 答案：a＝1 6．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________． 解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)， 由基本不等式可得，ab≤2＝， 因为ab的最大值为2， 所以＝2，M>0，所以M＝2. 答案：2 7．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________． 解析：因为x>0，y>0，＋＝1， 所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)， 所以(3x＋4y)min＝25. 答案：25 三、解答题 8．已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值． 解析：因为x<，所以4x－5<0,5－4x>0. f(x)＝4x－5＋3＋＝－＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝时等号成立， 又5－4x>0， 所以5－4x＝1，x＝1. 所以f(x)max＝f(1)＝1. 9．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：因为f(x)＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值． 又因为x＝3，所以a＝4×32＝36. [尖子生题库] 10．已知x∈，求函数y＝＋的最小值． 解析：y＝＋＝·(2x＋1－2x)＝10＋2·＋8·， 而x∈，2·＋8·≥2＝8， 当且仅当2·＝8·， 即x＝∈时取到等号，则y≥18， 所以函数y＝＋的最小值为18.