3.1
课时
分段
函数
第2课时 分段函数
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.若f(x)=x-3,x≥10,f(f(x+6)),x<10,则f(5)的值为( )
A.8 B.9
C.10 D.11
答案A
解析由题意知,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.
2.已知函数f(x)=-1,x<0,1,x≥0,则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )
A.[-1,1] B.[-1,2]
C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
答案A
解析原不等式等价于x-1<0,x×(-1)≤1或x-1≥0,x×1≤1,解得-1≤x≤1.
3.函数f(x)=2x,0≤x≤1,2,1<x<2,3,x≥2的值域是( )
A.R B.[0,2]∪{3}
C.[0,+∞) D.[0,3]
答案B
解析当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.
综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}.
4.(2021江西名校联盟高一期末)已知函数y=x2+1,x≤0,2x,x>0,若f(a)=10,则a的值是( )
A.3或-3 B.-3或5
C.-3 D.3或-3或5
答案B
解析若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5.综上可得,a=5或a=-3,故选B.
5.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
答案f(x)=-1,0≤x<1,x-2,1≤x≤2
解析当0≤x<1时,f(x)=-1;
当1≤x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),
则k+b=-1,2k+b=0,
解得k=1,b=-2,此时f(x)=x-2.
综上,f(x)=-1,0≤x<1,x-2,1≤x≤2.
6.(2021浙江浙东北名校高一期末联考)设函数f(x)=(x+1)2,x<1,4x,x≥1,则f(f(8))= ,使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是 .
答案94 (-∞,1]
解析因为f(x)=(x+1)2,x<1,4x,x≥1,所以f(8)=48=12,因此f(f(8))=f12=12+12=94.
当a<1时,f(a)≥4a可化为(a+1)2≥4a,即(a-1)2≥0显然恒成立,所以a<1;
当a≥1时,f(a)=4a≥4a,解得a=1.综上a的取值范围为(-∞,1].
7.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收费为g(x)元.
(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式;
(2)选择哪家比较合算?请说明理由.
解(1)由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40,
g(x)=90,15≤x≤30,30+2x,30<x≤40.
(2)由5x=90,解得x=18,
即当15≤x<18时,f(x)<g(x);
当x=18时,f(x)=g(x);
当18<x≤40时,f(x)>g(x).
所以当15≤x<18时,选甲家比较合算;
当x=18时,两家一样合算;
当18<x≤40时,选乙家比较合算.
等级考提升练
8.(2020陕西华阴高一期末)设函数f(x)=12x-1,x≥0,1x,x<0,若f(a)=a,则实数a的值为( )
A.±1 B.-1
C.-2或-1 D.±1或-2
答案B
解析当a≥0时,有12a-1=a,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有1a=a,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1.所以实数a的值是-1.故选B.
9.已知函数f(x)=x2,x≤1,x+4x-3,x>1,则f(x)的值域是( )
A.[1,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)
答案B
解析由f(x)=x2,x≤1,x+4x-3,x>1,知当x≤1时,x2≥0;
当x>1时,x+4x-3≥2x·4x-3=4-3=1,当且仅当x=4x,即x=2时等号成立.
综上,f(x)的值域是[0,+∞).故选B.
10.(多选题)(2020湖北黄冈黄州一中期中)已知f(x)=x,g(x)=x2-2x,且F(x)=g(x),f(x)≥g(x),f(x),f(x)<g(x),则F(x)的最值情况是( )
A.有最大值3 B.有最小值-1
C.无最小值 D.无最大值
答案CD
解析由f(x)≥g(x)得0≤x≤3;由f(x)<g(x),得x<0或x>3,所以F(x)=x2-2x,x∈[0,3],x,x∈(-∞,0)⋃(3,+∞).作出函数F(x)的图象如图,可得F(x)无最大值,无最小值.
11.(2021福建厦门高一期末)“高斯函数”为y=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=|x-1|(3-[x]),x∈[0,2),若f(x)=52,则x= ;不等式f(x)≤x的解集为 .
答案16 34,2
解析由题意,得f(x)=3-3x,0≤x<1,2x-2,1≤x<2,
当0≤x<1时,3-3x=52,即x=16;
当1≤x<2时,2x-2=52,即x=94(舍),
综上x=16.
当0≤x<1时,3-3x≤x,即34≤x<1,当1≤x<2时,2x-2≤x,即1≤x<2,综上34≤x<2.
12.设集合A=0,12,B=12,1,函数f(x)=x+12,x∈A,2-2x,x∈B,已知m∈A,且f(f(m))∈A,则实数m的取值范围是 .
答案14,12
解析∵m∈A,∴0≤m<12,f(m)=m+12∈12,1.∴f(f(m))=2-2m+12=1-2m.
∵f(f(m))∈A,∴0≤1-2m<12,
则14<m≤12.
∵0≤m<12,∴14<m<12.
∴m的取值范围是14,12.
13.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不纳税,超过5 000元的部分为全月纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额
税率
不超过1 500元的部分
3%
超过1 500元至4 500元的部分
10%
超过4 500元至9 000元的部分
20%
(1)已知张先生的月工资、薪金所得为10 000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?
(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元,当月应缴纳个人所得税为y元,写出y与x的函数关系式;
(3)已知王先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得为多少?
解(1)赵先生应交税为1 500×3%+3 000×10%+500×20%=445(元).
(2)y与x的函数关系式为
y=0,0≤x≤5 000,(x-5 000)×3%,5 000<x≤6 500,45+(x-6 500)×10%,6 500<x≤9 500,345+(x-9 500)×20%,9 500<x≤14 000.
(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有6 500<x≤9 500,
从而303=45+(x-6 500)×10%,解得x=9 080.所以王先生当月的工资、薪金所得为9 080元.
新情境创新练
14.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.
(1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求出最大利润.
解(1)参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元,
当1≤x≤30且x∈N时,y=850;
当30<x≤60且x∈N时,y=850-10(x-30)=1 150-10x.
所以y=850,1≤x≤30,且x∈N,1 150-10x,30<x≤60,且x∈N.
(2)当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12 000,Qmax=850×30-12 000=13 500(元);
当30<x≤60且x∈N时,Q=-10x2+1 150x-12 000,其对称轴为x=1152=57.5,故当x=57或58时,Qmax=21 060元.所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21 060元.
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