0521高二数学（选修-人教A版）-利用导数解决综合问题（2）-3学习任务单.docx

《利用导数解决综合问题（2）》学习任务单 【学习目标】 1. 以习题为载体，将导数这一部分的基本解题方法加以梳理； 2. 在分析问题的过程中，不断提升学生数学树形结合、转化与化归、分来讨论等思想方法； 3. 学生在分析求解综合性问题的过程中，提升逻辑推理、数学运算的等数学核心数养. 【课上任务】 例1设曲线上任意一点处的切线为，其中e为自然对数的底数.总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数a的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 例2 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数． 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0.则 函数y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零点个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 例3 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当，时，求证：曲线与有公共点． 例4 函数f(x)＝ln x＋x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ex＋x2. (1)讨论f(x)的极值点的个数； (2)若对于∀x>0，总有f(x)≤g(x)． ①求实数a的取值范围； ②求证：对于∀x>0，不等式ex＋x2－(e＋1)x＋>2成立． 反思：梳理利用导数求解问题的思路. 【学习疑问】 1.对函数第二次求导的目的是什么？ 2.对于已知恒成立求参数范围的问题，选择构造函数或参变分离两种方法有什么规律吗？ 【课后作业】 已知函数f(x)＝ex＋x2－x，g(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R. (1)当a＝1时，求函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y＝g(x)切于点(1，c)，求a，b，c的值； (3)若f(x)≥g(x)恒成立，求a＋b的最大值． 【课后作业参考答案】 解:　(1)当a＝1时，g(x)＝x2＋x＋b， F(x)＝ex－2x－b，则F′(x)＝ex－2. 令F′(x)＝ex－2>0，得x>ln 2， 所以F(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增． 令F′(x)＝ex－2<0，得x<ln 2，所以F(x)在(－∞，ln 2)上单调递减． 所以F(x)的增区间是(ln 2，＋∞)，减区间是(－∞，ln 2)． (2)因为f′(x)＝ex＋2x－1，所以f′(0)＝0， 所以l的方程为y＝1.依题意知，－＝1，c＝1. 于是l与抛物线g(x)＝x2－2x＋b切于点(1,1)， 由12－2＋b＝1，得b＝2. 所以a＝－2，b＝2，c＝1. (3)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－(a＋1)x－b， 则h(x)≥0恒成立．易得h′(x)＝ex－(a＋1)． ①当a＋1≤0时， 因为h′(x)>0，所以此时h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． (ⅰ)若a＋1＝0，则当b≤0时满足条件，此时a＋b≤－1； (ⅱ)若a＋1<0，取x0<0且x0<， 此时h(x0)＝ex0－(a＋1)x0－b<1－(a＋1)－b＝0， 所以h(x)≥0不恒成立，不满足条件； ②当a＋1>0时， 令h′(x)＝0，得x＝ln(a＋1)； 由h′(x)>0，得x>ln(a＋1)；由h′(x)<0，得x<ln(a＋1)． 所以h(x)在(－∞，ln(a＋1))上单调递减，在(ln(a＋1)，＋∞)上单调递增． 要使得“h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0恒成立”，必须有 “当x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－b≥0”成立， 所以b≤(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)， 则a＋b≤2(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－1. 令G(x)＝2x－xln x－1，x>0，则G′(x)＝1－ln x. 构造函数！ 令G′(x)＝0，得x＝e. 由G′(x)>0，得0<x<e；由G′(x)<0，得x>e. 所以G(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 所以，当x＝e时，G(x)max＝e－1. 从而，当a＝e－1，b＝0时，a＋b的最大值为e－1. 综上，a＋b的最大值为e－1.