5.3.1　第3课时　正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性.docx

第5章三角函数 5.3　三角函数的图象与性质 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第3课时　正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.函数y=cos(2x+3π)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 答案B 解析函数y=cos(2x+3π)=cos(2x+π)=-cos 2x,则函数是偶函数,故选B. 2.下列函数是偶函数的为(　　) A.y=cosπ2-x B.y=sinπ2-x C.y=sinx+π4 D.y=tan 2x 答案B 解析易知各选项的定义域均关于原点对称. y=cosπ2-x=sin x=-sin(-x),故A为奇函数; y=sinπ2-x=cos x=cos(-x),故B为偶函数; y=sinx+π4=cosπ2-x+π4=cosπ4-x≠sinπ4-x,故C不为偶函数; y=tan 2x=-tan(-2x),故D为奇函数.故选B. 3.当x∈[-π,π]时,函数y=3cosx+π2的单调递减区间为(　　) A.[-π,0] B.[0,π] C.-π2,π2 D.-π,-π2和π2,π 答案C 解析函数y=3cosx+π2=-3sin x,则由正弦函数的增区间为2kπ-π2,2kπ+π2,k∈Z,再结合x∈[-π,π],可得减区间为-π2,π2,故选C. 4.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是(　　) A.-π4,π4 B.π4,3π4 C.π,3π2 D.3π2,2π 答案C 解析画出y=|sin x|的图象即可求解. 5.(多选题)函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是(　　) A.0 B.π4 C.π2 D.5π2 答案CD 解析当φ=0时,y=sin(x+φ)=sin x为奇函数,不满足题意,排除A;当φ=π4时,y=sin(x+φ)=sinx+π4既不是奇函数也不是偶函数,排除B;当φ=π2时,y=sin(x+φ)=cos x为偶函数,满足条件.当φ=5π2时,y=sinx+5π2=cos x是偶函数.故选CD. 6.函数y=2sin2x+π6(x∈[-π,0])的单调递减区间是　　　　　　.  答案-5π6,-π3 解析∵正弦函数的单调递减区间为-3π2,-π2,∴-3π2≤2x+π6≤-π2. 又x∈[-π,0],解得-5π6≤x≤-π3,则函数的单调递减区间是-5π6,-π3. 7.(2021甘肃天水一中高一期中)已知函数f(x)=sin2x-π6+12. (1)求y=f(x)的单调递减区间; (2)当x∈π6,π3时,求f(x)的最大值和最小值. 解(1)函数f(x)=sin2x-π6+12. 令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z, 则f(x)的单调递减区间为kπ+π3,kπ+5π6,k∈Z. (2)令t=2x-π6,因为x∈π6,π3,则t∈π6,π2, 即g(t)=sin t+12,t∈π6,π2, 由于y=sin t在t∈π6,π2上单调递增, 则当t=π6时,g(t)min=1;当t=π2时,g(t)max=32. 即f(x)的最大值为32,最小值为1. 关键能力提升练 8.设函数f(x)=cosπ3-2x,则f(x)在0,π2上的单调递减区间是(　　) A.0,π6 B.0,π3 C.π3,π2 D.π6,π2 答案D 解析函数f(x)=cosπ3-2x=cos2x-π3,令2kπ≤2x-π3≤2kπ+π,求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,可得f(x)的减区间为kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z,结合x∈0,π2,可得f(x)的单调递减区间为π6,π2,故选D. 9.下列不等式中成立的是(　　) A.sin 3>sin 2 B.cos 3>cos 2 C.cos-25π<cos-π4 D.sin125π<sin174π 答案C 解析∵π2<2<3<π,∴sin 2>sin 3,cos 2>cos 3,故选项A,B错误;∵-π2<-25π<-π4<0,∴cos-25π<cos-π4,故C正确;∵sin125π=sin25π,sin174π=sinπ4,且0<π4<25π<π2,∴sinπ4<sin25π,故D错误,故选C. 10.(2020甘肃白银高一期末)对于函数f(x)=sin 2x,下列选项正确的是(　　) A.f(x)在π4,π2上是递增的 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小值为1 D.f(x)的最大值为2 答案B 解析x∈π4,π2,t=2x∈π2,π,y=sin t单调递减,故A错误;因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,故B正确;f(x)的最小值为-1,故C错误;x∈R,f(x)的最大值为1,故D错误.故选B. 11.(多选题)已知函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π6,下列说法中正确的是(　　) A.f(x)=65sinx+π6 B.函数f(x)的最大值为65 C.函数f(x)的周期是π D.f(x)在-π6,π6上单调递增 答案BD 解析∵cosx-π6=cosπ6-x=cosπ2-π3+x=sinx+π3,∴f(x)=65sinx+π3,故A不正确;函数的最大值是65,故B正确;函数的周期是2π,故C不正确;x∈-π6,π6时,x+π3∈π6,π2⊆0,π2,所以函数在区间-π6,π6上单调递增,故D正确.故选BD. 12.已知函数y=cos 2x在区间[0,t]上是减函数,则实数t的取值范围是　　　　　.  答案0,π2 解析∵函数y=cos 2x在区间[0,t]上是减函数,根据余弦函数的单调性可知0<2t≤π,∴0<t≤π2,即实数t的取值范围是0,π2,故答案为0,π2. 13.函数f(x)=sin 2x,若f(x+t)为偶函数,则最小的正数t的值为　　　　　.  答案π4 解析由函数f(x)=sin 2x可知f(x+t)=sin 2(x+t)=sin(2x+2t),要使函数f(x)=sin 2x为偶函数,则2t=kπ+π2(k∈Z),当k=0时,最小正数t的值为t=π4. 学科素养创新练 14.已知函数f(x)=sin(x+φ),则fπ3-φ=　　　　　,当φ=　　　　　(写出一个值即可)时,函数f(x)在区间π3,4π3上单调.  答案32　π6答案不唯一,只要是φ=kπ+π6(k∈Z)即可 解析fπ3-φ=sinπ3=32,当φ=π6时,因为π3<x<43π, 所以π2<x+π6<32π,所以函数f(x)=sin(x+φ)在π3,4π3上单调递减,满足题意. 5