3.1.1 椭圆（第一课时）（教师版）.docx

3.1.1 椭圆 思维导图 常见考法 考点一 椭圆的定义 【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ） A． 直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 （2）（2019·宁波市第四中学高二期中）设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】（1）B（2）D 【解析】（1）对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B． （2）因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知， 故选D． 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． 【一隅三反】 1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ） A．５ B．３ C．２ D．１ 【答案】D 【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1 2．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( ) A．4 B．194 C．94 D．14 【答案】D 【解析】依题意，且.故选：D 3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【答案】　② 【解析】　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． 考点二 椭圆定义的运用 【例2-1】（1）（2019·福建高二期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）（2019·江苏省苏州实验中学高二期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D．且 【答案】（1）A（2）D 【解析】（1）转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A. （2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，. 综上：实数的取值范围是且故选：D 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示 （1） 焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围． （2） 焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围． （3） 椭圆，必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围 【一隅三反】 1．（2020·广东高三月考（文））“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B. 2．（2017·浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】椭圆的焦点在轴上，，解得或，故选D. 3．（2019·北京北师大实验中学高二期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示椭圆，故：，且； 又该椭圆的焦点在轴上，故只需，解得.故选：D. 【例2-2】（1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（　　） A． B． C． D． （2）（2019·广西田阳高中））已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）C 【解析】（1）的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是．故选：C． （2）由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4， 设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①， 在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°， 所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64， 整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③ 所以③﹣②得t1t2＝12， ∴∠F1PF2＝3．故选A． 【一隅三反】 1．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ） A．20 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C. 2．（2018·湖南高二期中（理））已知E、F分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点，倾斜角为60∘的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则△FAB的周长为( ) A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【解析】椭圆x225+y29=1，可得a=5， 三角形AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|，|AB|=|AF1|+|BF1|， 所以：周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|， 由椭圆的第一定义，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，所以，周长=4a=20．故选：D． 3．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______． 【答案】 【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°， 由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60° 12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴， ∴. 考点三 椭圆的标准方程 【例3】（2020·四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程： （1）焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程； （2）与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程 （3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程 【答案】（1）；（2）或（3） 【解析】（1）由已知条件可得，可得，， 因此，所求椭圆的标准方程为； （2）易知椭圆的离心率． 当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为， 把点代入方程，得． 又，解得，，所以所求椭圆的方程为． 当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为， 把点代入方程，得． 又，解得，，所以所求椭圆的方程为． （2）因设椭圆的标准方程为，因为点在椭圆上， 所以，所以椭圆的标准方程为．此椭圆的标准方程是或. 根据焦点位置分类讨论，再根据离心率以及点在椭圆上列方程组解得，，即得结果. 【一隅三反】 1．（2019·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； (2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. （3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和 【答案】(1) (2)或（3） 【解析】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知， ，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为. (2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为或. （2）设椭圆的方程为． 将A，B两点坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的方程为． 考点四 离心率 【例4】（1）（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。 （2）（2019·江西南昌十中高二期中（文））过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为 【答案】（1）（2） 【解析】（1）根据题意，可知，因为，所以，即， 所以椭圆的离心率为. （2）根据题意，如图所示， 可得为正三角形，可得在中，有， 点在椭圆上，由椭圆的定义可得， 则该椭圆的离心率 1．椭圆的离心率的求法： (1)直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e. (2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e. 2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集． 【一隅三反】 1．（2020·江苏淮安.高二期中）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，椭圆的焦点在轴上， 则，所以， 由于点在椭圆的右准线上，且到轴的距离为， 则，所以， 由题得，，则， 即，则有，即， 而，所以， 整理得：，则，即， 解得：， 即椭圆的离心率为. 故选：C. 2．（2019·历下.山东师范大学附中）椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的短轴长为，长轴长为，焦距为， 则，即；或， 若，① ∵， ∴，② 由①②得：，， ∴椭圆的离心率； 若，③ ∵， ∴，④ 由③④得：，，不符合题意，舍去， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 3．（2019·内蒙古通辽实验中学高二月考）椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，消去得，， 设，中点为， 则 ， 即离心率，故选B. 4．（2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥， ∠=，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m， 故离心率e＝选D. 12