5.7三角函数的应用.docx

第五章三角函数第七节5.7三角函数的应用课后练习2021-2022学年高中数学人教A版2019必修第一册 一、单选题（共11题） 1.在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为600 ， 塔基的俯角为450 ， 那么塔吊的高是（  ） A. 201+33m             B. 201+3m             C. 106+2m             D. 206+2m 2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（  ） A. akm                                B. akm                                 C. akm                                D. 2akm 3.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则(  ) A. ω=π2,φ=π4                B. ω=π3,φ=π6                C. ω=π4,φ=π4                D. ω=π4,φ=5π4 4.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3 3 ，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜ π2 ）．则下列叙述错误的是（   ） A. R=6，ω=π30，φ=-π6                                  B. 当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C. 当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减         D. 当t=20时， |PA|=63 5.已知 sinα+ 3 cosα=2，则tanα=（   ） A. - 3                                    B. 3                                    C. - 33                                    D. 33 6.设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（ π4 +x）和g（x）= 3 cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（   ） A. 3                                         B. 2                                         C. 2                                         D. 3 7.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（  ） A. 10 m                               B. 20m                               C. 20 m                               D. 40m 8.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（   ） A. y=3sinπ6t+12         B. y=-3sinπ6t+12         C. y=3sinπ12t+12         D. y=3cosπ12t+12 9.半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（　　） A. 2π                                       B. 8π3                                       C. 3π                                       D. 11π3 10.M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（  ） A. π                                     B.                                      C.                                      D. 2π 11.矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（　　） A. π6                                         B. π4                                         C. π3                                         D. 3π8 二、填空题（共6题） 12.如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=________． 13.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是________． 14.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃ 15.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为________海里/时． 16.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+Acos[π6(x-6)](x=1,2,3,⋯,12) 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 28°C ，12月份的月平均气温最低，为 18°C ，则10月份的平均气温值为________ °C ． 17.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________ 海里/小时． 三、综合（共3题） 18.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间． （1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数； （2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？ 19.如图：已知圆O的直径是2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值． 20.如图，AOB是一块半径为r的扇形空地， ∠AOB=π2 ．某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH，剩余的地方进行绿化．若 ∠BOG=π6 ，设 ∠AOD=θ (Ⅰ)记活动场地与停车场占地总面积为 f(θ) ，求 f(θ) 的表达式； (Ⅱ)当 cosθ 为何值时，可使活动场地与停车场占地总面积最大． 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 B 【解析】【解答】由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米,再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=， AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20（+1)故选B 【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角 2.【答案】 B 【解析】解答：由图可知，∠ACB=120°， 由余弦定理 cos∠ACB= = =﹣ ， 则AB= a（km）． 故选B． 分析：先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值． 3.【答案】 C 【解析】【解答】观察图象可知，A=1，T=4（3－1)=8，所以。将（1,1)代入得所以， 故选C。 4.【答案】C 【解析】【解答】解：由题意，R= 27+9 =6，T=60= 2πω ，∴ω= π30 ， 点A（3 3 ，﹣3）代入可得﹣3=6sinφ，∵|φ|＜ π2 ），∴φ=﹣ π6 ．故A正确； f（t）=6sin（ π30 t﹣ π6 ），当t∈[35，55]时， π30 t﹣ π6 ∈[π， 53π ]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确； 当t∈[10，25]时， π30 t﹣ π6 ∈[ 16 π， 2π3 ]，函数y=f（t）单调递减，不正确； 当t=20时， π30 t﹣ π6 = π2 ，P的纵坐标为6，|PA|= 27+81 =6 3 ，正确， 故选C． 【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论． 5.【答案】 D 【解析】【解答】解：∵ sinα+ 3 cosα=2 ， ∴212sinα+32cosα=2 ， 可得sinα+π3=1 ， ∴α+π3=2kπ+π2 ， k∈Z. ∴α=2kπ+π6 ， 则tanα=tan2kπ+π6=tanπ6=33. 故答案为：D 【分析】sinα+ 3 cosα=2 ， 利用和差公式化简可得α=2kπ+π6 ， 即可求出tanα的值。 6.【答案】 D 【解析】【解答】解： f(x)=1-cos(π2+2x)=1+sin2x ， |MN|=|f(a)-g(a)|=|1+sin2a-3cos2a| = |2sin(2a-π3)+1|≤3 ． 故选D 【分析】利用二倍角公式先化简f（x），将|MN|表示成a的三角函数，利用公式 asinx+bcosx=a2+b2sinx(x+θ) 化简|MN|，利用三角函数的有界性求出最大值． 7.【答案】 D 【解析】解答：由题可设AB=x ， 则 ， 在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB 即：（ ）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120° 整理得：x2﹣20x﹣800=0 解得x=40或x=﹣20（舍） 所以，所求塔高为40米 ． 故选D． 分析：设出AD=x ， 进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x ． 8.【答案】A 【解析】【解答】解：依题意， {A+K=15-A+K=9 ，解得 {A=3K=12 ， 又T= 2πω=12 ， ∴ω= π6 ． 又f（3）=15， ∴3sin（ 36π +φ）+12=15， ∴sin（ π2 +φ）=1． ∴φ=0， ∴y=f（t）=3sin π6 t+12． 故选：A． 【分析】高潮时水深为A+K，低潮时水深为﹣A+K，联立方程组求得A和K的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求． 9.【答案】 B 【解析】【解答】解：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h 则：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=21-tan2α ， 圆锥的体积V=13πR2h=13π×1tanα2×21-tan2α =2π3×1tan2α1-tan2α ， 而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1﹣tan2α＞0 又因为：tan2α+（1﹣tan2α）=1=定值 所以：当tan2α=1﹣tan2α，即tanα=22时，V最小=2π3×112×12=8π3 ． 故选B． 【分析】设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h用α表示R，h，求出圆锥的体积V的表达式，利用基本不等式求出V最小 ． 10.【答案】 C 【解析】解答：要求|MN|的最小值在，只要在一个周期内解即可 ∵πsinx=πcosx 解得x= 或x= 得到两个点为（， ）和（ ） 得到|MN|= = 故选C 分析：|MN|的最小值即一个周期内两个交点的距离；列出方程求出两个交点坐标，据两点的距离公式求出|MN|的最小值． 11.【答案】 D 【解析】【解答】解：如图所示， 建立直角坐标系． 设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.θ∈0,π2 ． B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）． ∴|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2 =1+4sinθcosθ+4sin2θ =1+2sin2θ+2（1﹣cos2θ） =22sin2θ-π4+3， ∵θ∈0,π2 ， ∴2θ-π4∈-π4,3π4 ． ∴当2θ-π4=π2 ， 即θ=3π8时，|OC|2取得最大值，22+3． 故选：D． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.θ∈0,π2 ． 可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2 =22sin2θ-π4+3，由于θ∈0,π2 ， 可得2θ-π4∈-π4,3π4 ． 即可得出． 二、填空题 12.【答案】 20° 【解析】【解答】连接OP， 根据切线的性质可知，AP=BP，∠DAP=∠DPB= ∠P= ×40°=20°， 在△ADP与△BPD中，AP=BP，DP=DP，∠DAP=∠DPB=20°， ∴△ADP≌△BPD，OP⊥AB， ∴∠DAP=90°﹣∠DAP=90°﹣20°=70°， ∵AP是⊙O的切线，AC是直径， ∴∠OAP=90°， ∴∠BAC=∠OAP﹣∠DAP=90°﹣70°=20°． 【分析】连接OP，根据切线的性质可求出△ADP≌△BPD及∠APD的度数，根据直角三角形的性质可求出∠DAP的度数，由切线的性质定理解答即可． 13.【答案】 【解析】【解答】由题意，∵ ∴v=S'= 当t=18时，速度v= 故答案为 【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解． 14.【答案】 16 【解析】【解答】据题意得28=a+A， =a﹣A 解得a=20，A=8 所以 令x=10得y= =16 故答案为：16 【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值． 15.【答案】 202 【解析】【解答】由题意，如图所示， 可知∠SMN=15°+90°=105°，∠SNM=45°，SM=20，∴∠NSM=30°， 在△SMN中，由正弦定理可得： MNsin∠NSM=SMsin∠SNM ， 即 MN12=2022 ，解得：MN= 102 ， ∴货轮的速度为 MN12 = 202 海里/时． 故答案为： 202 ． 【分析】由题意可知，在△SMN中，由正弦定理可得MN= 102 ， 即可得出货轮的速度. 16.【答案】 20.5 【解析】【解答】根据题意，由于一年中12个月的平均气温与月份x的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[ π6 (x-6)](x=1，2，3，…，12)，由于x=6,y=28,可知a+A=28,x=12,a-A=18,得到a=23,A=5,当x=10，y=20.5，故可知则10月份的平均气温值为20.5℃。 【分析】根据实际问题的已知条件结合三角型函数图象与a和A的关系，从而建立关于a和A的方程组，进而求出a和A的值，从而求出三角型函数的解析式，再利用三角型函数的解析式求出10月份的平均气温值。 17.【答案】 1762 【解析】【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°． 在△PMN中，由正弦定理，得 ， ∴MN= 又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时）， ∴船的航行速度v=3464=1762（海里/时）； 故答案为：1762 ． 【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案． 三、综合题 18.【答案】 （1）解：依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2， ∴ {A+B=6-A+B=-2 ⇒ {A=4B=2 ； ∵op每秒钟内所转过的角为 (5×2π60)=π6t ，得z=4sin (π6t+ϕ)+2 ， 当t=0时，z=0，得sinφ=﹣ 12 ，即φ=﹣ π6 ，故所求的函数关系式为 z=4sin (π6t-π6) +2 （2）解：令z=4sin (π6t-π6) +2=6，得sin (π6t-π6) =1， 取 π6t-π6=π2 ，得t=4， 故点P第一次到达最高点大约需要4S 【解析】【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即 z=4sin (π6t-π6) +2=6可求得时间． 19.【答案】 解：设∠POB=θ．在△POC中，由余弦定理得：PC2=OP2+OC2﹣2OP•OC•cosθ=5﹣4cosθ 所以S=S△OPC+S△PCD=2sinθ-π3+543 ， 当θ-π3=π2时，即θ=56π时， 四边形OPDC面积的最大值为 2+543 ． 【解析】【分析】设∠POB=θ，将面积表示为角的函数，再利用三角函数求最值的方法求最值． 20.【答案】 解： ( Ⅰ ) 由题意得，在矩形OCDE中， ∠AOD=θ ， ∴OC=rcosθ ， OE=rsinθ ， ∴ 矩形OCDE的面积为 S矩形OCDE=OC⋅OE=r2sinθcosθ ； 又 ∠BOG=π6 ，四边形EFGH是矩形， ∴HG=rsinπ6=r2 ， OH=rcosπ6=3r2 ， ∴HE=OH-OE=r(32-sinθ) ； ∴ 矩形EFGH的面积为 S矩形EFGH=HG⋅HE=r22(32-sinθ) ， ∴f(θ)=S矩形OCDE+S矩形EFGH=r2sinθcosθ+r22(32-sinθ)=r2(sinθcosθ-12sinθ+34) ，其中 θ∈(0,π3) ； ( Ⅱ ) 由题意知， f'(θ)=r2(cos2θ-sin2θ-12cosθ)=r22(4cos2θ-cosθ-2) ， 令 f'(θ)=0 ，得 4cos2θ-cosθ-2=0 ， 解得 cosθ=1+338 ，或 cosθ=1-338( 不合题意，舍去 ) ； 令 cosθ0=1+338 ，则 θ0∈(0,π3) ； ① 当 θ∈(0,θ0) 时， f'(θ)>0 ， f(θ) 单调递增； ② 当 θ∈(θ0,π3) 时， f'(θ)<0 ， f(θ) 单调递减； ∴ 当 θ=θ0 时， f(θ) 取得最大值； 即 cosθ=1+338 时，可使活动场地与停车场占地总面积最大． 【解析】【分析】 ( Ⅰ )根据三角函数的定义及矩形的面积公式，即可确定函数的表达式； (Ⅱ) 求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值和此时的余弦值.