4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和.docx

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和 课后篇巩固提升 　　　　　　　　　　　　　　　　　 必备知识基础练 1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案D 解析设{an}的公差为d,则a1+d+a1+4d=4,7a1+7×62d=21,解得a1=-3,d=2,所以a7=a1+6d=-3+6×2=9,故选D. 2.(2021江西景德镇一中高二期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=2,a4-a2=2,则S5=(　　) A.21 B.15 C.10 D.6 答案C 解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1+a3=2,a4-a2=2, ∴2a1+2d=2,2d=2,解得a1=0,d=1,则S5=0+5×42×1=10. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于(　　) A.n B.n2 C.2n+1 D.2n-1 答案D 解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(n∈N*). 4.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}的前10项和T10=(　　) A.70 B.75 C.80 D.85 答案B 解析∵an=2n+1, ∴数列{an}是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n2+2n,∴bn=1nSn=n+2,∴数列{bn}也是等差数列,首项b1=3,公差为1. ∴其前10项和T10=10×3+10×92×1=75,故选B. 5.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马,发长安至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马.问:相逢时良马走了(　　) A.17天 B.18天 C.15天 D.16天 答案D 解析由题意知,良马每天所行路程成等差数列,记为{an},则{an}是以193为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程成等差数列,记为{bn},则{bn}是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn≥2×3 000,所以193n+n(n-1)2×13+97n+n(n-1)2-12≥6 000, 化简得5n2+227n-4 800≥0,解得n≥16(n∈N*). 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S1=1,S5=25,则S33=　　　　.  答案3 解析因为等差数列{an}中,a1=S1=1,设公差为d,则S5=5+10d=25, 所以d=2.则S33=3(a1+a3)23=a2=a1+d=3. 7.(2019全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=　　　　　.  答案4 解析设等差数列{an}的公差为d. ∵a1≠0,a2=3a1, ∴a1+d=3a1,即d=2a1. ∴S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=100a125a1=4. 8.为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划,第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m,李强10天一共跑了　　　　m.  答案68 000 解析将李强每一天跑的路程记为数列{an},由题意知,{an}是等差数列,则a1=5 000,公差d=400. 所以S10=10a1+10×(10-1)2d=10×5 000+45×400=68 000, 故李强10天一共跑了68 000 m. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn=-2n2+3n+1. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{an}是不是等差数列? 解(1)当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-[-2(n-1)2+3(n-1)+1]=-4n+5. 又当n=1时,a1=2不满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2,-4n+5,　n=1,n≥2. (2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4,但a2-a1=-3-2=-5,所以数列{an}不是等差数列. 关键能力提升练 10.在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和S9等于(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案C 解析设等差数列{an}的公差为d,因为2a4+a7=3, 所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1, 即a5=1, 所以S9=9(a1+a9)2=9a5=9. 11.若公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为(　　) A.20 B.21 C.22 D.23 答案C 解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C. 12.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于(　　) A.30 B.45 C.90 D.186 答案C 解析由等差数列{an}易得公差d1=3.又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+5×42×6=90. 13.(2020山东,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　.  答案3n2-2n 解析数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列. 所以{an}的前n项和为Sn=n×1+n(n-1)2×6=3n2-2n. 14.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=12. (1)求证:1Sn是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明∵-an=2SnSn-1(n≥2),∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).又Sn≠0(n=1,2,3,…), ∴1Sn-1Sn-1=2. 又1S1=1a1=2, ∴1Sn是以2为首项,2为公差的等差数列. (2)解由(1)可知1Sn=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=12n. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1)或当n≥2时,an=-2SnSn-1=-12n(n-1); 当n=1时,S1=a1=12. 故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2. 学科素养创新练 15.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…). (1)若a3=a22,求λ的值. (2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 解(1)因为Sn=λan-1, 所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1. 由a1=λa1-1,可知λ≠1, 所以a1=1λ-1,a2=λ(λ-1)2,a3=λ2(λ-1)3. 因为a3=a22,所以λ2(λ-1)3=λ2(λ-1)4,解得λ=0或λ=2. (2)不存在.理由如下:假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,则2a2=a1+a3, 由(1)可得2λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3, 所以2λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3=2λ(λ-1)2+1(λ-1)3,即1(λ-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列. 5