湘教版高中地数学选修4-1-3.1 圆锥面和圆锥曲线-教案.docx

圆锥面和圆锥曲线 【教学目标】 1．认识圆锥面，圆锥面的母线 2．通过观察平面截圆锥面的三种情形 3．通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。 【教学重难点】 通过观察平面截圆锥面的三种情形 【教学准备】 课件 模型 【教学方法】 探究 讨论 【教学过程】 一、课前导引 情景导入 太空中飞过太阳系的慧星,其轨道是双曲线,炮弹的飞行轨迹是抛物线,行星绕恒星的旋转轨道大多是椭圆. 知识预览 1．圆锥曲线的形成 在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,夹角为α,l′围绕l旋转得到以O点顶点,V为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时,记β=0),则 （1）β＞α,平面π与圆锥的交线为椭圆; （2）β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线; （3）β＜α,平面π与圆锥的交线为双曲线. 2．圆锥曲线的结构特点 （1）椭圆上的点到两定点(焦点)距离之和为常数(长轴长2a). （2）双曲线上的点到两定点(焦点)距离之差的绝对值为常数(2a). （3）抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等. （4）圆锥曲线的几何性质 项目 椭圆 双曲线 抛物线 焦点 2个 2个 1个 准线 2条 2条 1条 离心率 e=＜1 e=＞1 1 焦距 F1F2=2c c2=a2-b2 F1F2=2c c2=a2+b2 离心率 准线间距 曲线上的点到焦点距离 |PF1+PF2|=|2a| |PF1-PF2|=|2a| 二、新知学习 1．圆锥面 锥面：设空间有一条定曲线Σ和不在Σ上的一定点A，动点P在Σ上运动时，直线AP上的点的轨迹，叫做以A为顶点．以Σ为准线的锥面，每条直线AP都叫做此锥面的母线． 如甲图所示，为一锥面，其中曲线Σ为锥面的准线，定点A为锥面的顶点，准线上任一点P与点A的连线都是锥面的母线． 圆锥面：若锥面的准线为一圆，锥面的顶点在过圆心且垂直于圆所在平面的直线上，则此锥面叫做圆锥面． 过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心的直线，叫做此圆锥面的轴线． 如乙图所示，为一圆锥面，其准线为⊙O，顶点为A，过点A和点O的直线是圆锥面的轴线，且圆锥面上只存在母线的直线，直线l垂直于⊙O所在的平面，由旋转面和圆锥面的关系知：圆锥面可以看作是两条相交直线，其中一条直线a绕另一条直线l旋转而得到，于是也可将圆锥面定义为： 一条直线绕着与它相交成定角θ的另一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面，这条直线叫做圆锥面的母线．另一条直线叫做圆锥面的轴． 性质1：圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等；轴线上任一点到每条母线的距离相等． 如丙图所示，设⊙O为圆锥面的准线， B、C是⊙O上任两点，则AB、AC为圆锥面的母线，由OB＝OC，OA＝OA， ∴Rt△AOB≌Rt△AOC， ∴∠OAB＝∠OAC，即轴线与每一条母线的夹角相等． 又设M为轴线l上任一点，MN⊥AB于点N，∠OAB＝α，则MN＝AMsin α. 故点M到每一条母线的距离为定值． 2．垂直截面 轴截面：经过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面． 与轴截面相交的两条母线的夹角叫做圆锥面的顶角．轴与母线的夹角叫做圆锥面的半顶角． 如果一平面垂直于圆锥面的轴线，那么这个平面叫做圆锥面的正截面． 性质2：圆锥面的顶点到正截面之间所截的母线上的线段相等；正截面截圆锥的截线是圆，其半径等于d tan α，这里d是圆锥面的顶点到正截面的距离，α是圆锥面的半顶角． 3．一般截面 若平面π不和圆锥面的轴线垂直，称π为圆锥面的斜截面，过轴线并垂直于π的平面叫做π的轴面． 性质3：圆锥面的斜截面的轴面，垂直于它和正截面的交线． 4.在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点．l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)________，平面π与圆锥的交线为椭圆． (2)________，平面π与圆锥的交线为抛物线． (3)________，平面π与圆锥的交线为双曲线． 【作业布置】