课后限时集训(五十五)曲线与方程建议用时：40分钟一、选择题1．若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是()A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线B[当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4xA[设点P(x，y)，则Q(x，－1)． QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.]3．(2020·静安区二模)方程2x2－9xy＋8y2＝0的曲线C所满足的性质为()①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称；④关于直线y＝x对称．A．①③B．②③C．①④D．①②A[由题意，2x2－9xy＋8y2＝0化为：9xy＝2x2＋8y2≥0，说明x，y同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y换y，方程发生改变，所以图形不关于x轴对称，所以②不正确；以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以③正确；方程2x2－9xy＋8y2＝0，x，y互换，方程化为8x2－9xy＋2y2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A.]4．(2020·成都模拟)设C为椭圆x2＋＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0,2)，延长AC至点P，使得|PC|＝|BC|，则点P的轨迹方程为()A．x2＋(y－2)2＝20B．x2＋(y＋2)2＝20C．x2＋(y－2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5B[如图，由椭圆方程x2＋＝1，得a2＝5，b2＝1，∴c1＝＝2，则A(0，－2)，B(0,2)为椭圆两焦点，∴|CA|＋|CB|＝2a＝2， |PC|＝|BC|，∴|PA|＝|PC|＋|CA|＝|BC|＋|CA|＝2.∴点P的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆，其方程为x2＋(y＋2)2＝20.故选B.]5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2＝25②△ABC面积为10C2：x2＋y2＝4(y≠0)③△ABC中，∠A＝90°C3：＋＝1(y≠0)则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为()A．C3，C1，C2B．C1，C2，C3C．C3，C2，C1D．C1，C3，C2A[①△ABC的周长为10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②△ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以AB·AC＝(...
