5.3.1　函数的单调性.docx

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.函数y=f(x)在定义域-32,3内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)≤0的解集为(　　) A.-13,1∪[2,3) B.-1,12∪43,83 C.-32,12∪[1,2] D.-32,-13∪12,43 答案A 解析由题意f'(x)≤0的解集就是函数的单调递减区间,根据图象可知f'(x)≤0的解集为-13,1∪[2,3),故选A. 2.已知函数f(x)=x2-5x+2ln x,则函数f(x)的单调递减区间是(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.0,12和(1,+∞) B.(0,1)和(2,+∞) C.0,12和(2,+∞) D.12,2 答案D 解析函数f(x)=x2-5x+2ln x,其定义域为{x|x>0},则f'(x)=2x-5+2×1x=2x2-5x+2x. 令f'(x)=0,可得x1=12,x2=2. 当x∈12,2时,f'(x)<0, 故函数f(x)的单调递减区间为12,2. 3.(2021江西南昌高二期末)已知定义在R上的函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是(　　) A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(e)>f(d) D.f(c)>f(b)>f(a) 答案D 解析由函数的导数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,c)上单调递增,在区间(c,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增,而a<b<c,故f(a)<f(b)<f(c).故选D. 4.(2021陕西西安中学高二期末)已知函数f(x)=x+ln x,则下列选项正确的是(　　) A.f(e)<f(π)<f(2.7) B.f(π)<f(e)<f(2.7) C.f(e)<f(2.7)<f(π) D.f(2.7)<f(e)<f(π) 答案D 解析因为函数f(x)=x+ln x(x>0), 所以f'(x)=12x+1x>0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又因为2.7<e<π, 所以f(2.7)<f(e)<f(π).故选D. 5.(2020山西高二月考)若函数f(x)=ln x+12x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(　　) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2] 答案B 解析由f(x)=ln x+12x2-bx, 可得f'(x)=x2-bx+1x(x>0). 由题意可得存在x>0,使得f'(x)=x2-bx+1x<0, 即存在x>0,使得x2-bx+1<0,等价于b>x+1x成立,即b>x+1xmin.又x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以b>2.故选B. 6.设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中,错误的是(　　) 答案D 解析对于A,若曲线C1为函数f(x)的图象,由于函数在(-∞,0)内单调递减的,所以f'(x)<0,因此f'(x)图象在x轴的下方;又函数在(0,+∞)内单调递增,因此f'(x)>0,故f'(x)图象在x轴的上方,因此A符合题意. 同理,B,C中若C2为f(x)的图象,C1为f'(x)的图象也符合题意; 对于D,若曲线C1为函数f'(x)的图象,则函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,与曲线C2不相符;若曲线C2为函数f'(x)的图象,则函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递减,与曲线C1不相符. 7.(多选)下列函数中,在(0,+∞)内不单调的函数是(　　) A.y=sin x B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=ln x-x 答案ACD 解析显然y=sin x在(0,+∞)上既有增又有减,故选项A符合题意;对于函数y=xe2,因e2为大于零的常数,不用求导就知y=xe2在(0,+∞)内单调递增,故选项B不符合题意;对于C,y'=3x2-1=3x+33x-33,故函数在-∞,-33,33,+∞上单调递增,在-33,33上单调递减,故选项C符合题意;对于D,y'=1x-1=1-xx(x>0),故函数在(1,+∞)上单调递减,在(0,1)上单调递增,故选项D符合题意.故选ACD. 8.函数y=exx的单调递减区间是　.  答案(-∞,0)和(0,1) 解析函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y'=xex-exx2=ex(x-1)x2,令y'<0得x<1,且x≠0,故函数的单调递减区间是(-∞,0)和(0,1). 9.(2020江西高二期末)已知函数f(x)=x+bln x在区间(0,2)上不单调,则实数b的取值范围是　　　　　.  答案(-2,0) 解析f'(x)=1+bx=x+bx,令g(x)=x+b(x>0),则g(x)是增函数,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0). 10.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=3+x·ln x; (2)f(x)=x+bx(b>0). 解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,即ln x+1>0,得x>1e. 令f'(x)<0,即ln x+1<0,得0<x<1e. 故函数f(x)的单调递增区间为1e,+∞,单调递减区间为0,1e. (2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f'(x)=x+bx'=1-bx2,令f'(x)>0, 即1x2(x+b)(x-b)>0,得x>b或x<-b. 令f'(x)<0,即1x2(x+b)(x-b)<0,所以-b<x<b且x≠0.故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-b),(b,+∞),单调递减区间为(-b,0),(0,b). 11.设f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间. 解f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a. 若a≤0,则f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. 关键能力提升练 12.f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是(　　) 答案C 解析由导函数的图象可知,当x<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增; 当0<x<x1时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减; 当x>x1时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增. 结合各选项可得C正确.故选C. 13.(2021江西上饶横峰中学高二月考)函数f(x)的定义域为R,f(1)=0,f'(x)为f(x)的导函数,且f'(x)>0,则不等式(x-2)f(x)>0的解集是(　　) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(0,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 答案A 解析由题意可知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 又f(1)=0,(x-2)f(x)>0,所以当x>2时,由f(x)>0可知f(x)>f(1),即x>1,因此x>2; 当x<2时,由(x-2)f(x)>0可知f(x)<0, 即f(x)<f(1),因此x<1. 所以不等式(x-2)f(x)>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),故选A. 14.函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2 022,对任意的x∈R,都有f'(x)<2x成立,则不等式f(x)<x2+2 018的解集为(　　) A.(-2,+∞) B.(-2,2) C.(-∞,-2) D.R 答案A 解析原不等式化为f(x)-x2-2 018<0, 令g(x)=f(x)-x2-2 018, 则g'(x)=f'(x)-2x. 已知对任意的x∈R,都有f'(x)<2x成立, ∴g'(x)<0恒成立, ∴g(x)在R上单调递减. ∵g(-2)=f(-2)-(-2)2-2 018 =2 022-4-2 018=0, ∴g(x)<0的解集为(-2,+∞), 故选A. 15.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)+1<0,且f(1)=-1,则(　　) A.f(0)<0 B.f(e)<-e C.f(e)>f(0) D.f(2)>f(1) 答案B 解析构造g(x)=f(x)+x,则g'(x)=f'(x)+1. 又f'(x)+1<0,所以g'(x)<0, 所以函数g(x)在R上单调递减. 又g(1)=f(1)+1=-1+1=0, 所以g(e)<g(1),即f(e)+e<0,所以f(e)<-e.故选B. 16.已知函数f(x)=12x2+aln x,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>4恒成立,则a的取值范围为(　　) A.[4,+∞) B.(4,+∞) C.(-∞,4] D.(-∞,4) 答案A 解析令g(x)=f(x)-4x,因为f(x1)-f(x2)x1-x2>4, 所以g(x1)-g(x2)x1-x2>0, 即g(x)在(0,+∞)上单调递增, 故g'(x)=x+ax-4≥0在(0,+∞)上恒成立, 即a≥4x-x2,令h(x)=4x-x2,x∈(0,+∞), 则h(x)=4x-x2≤h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为[4,+∞).故选A. 17.(多选)若函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围可能为(　　) A.-1,12 B.(-∞,-1) C.-12,1 D.12,+∞ 答案BD 解析函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,定义域为R, 且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin 2x)=-f(x), ∴f(x)为R上的奇函数. 又f'(x)=ex+e-x+2cos 2x≥2+2cos 2x,当且仅当x=0时,等号成立. 当x=0时,2+2cos 2x≠0,∴f'(x)>0恒成立,∴f(x)为R上的增函数.又f(2x2-1)+f(x)>0, 得f(2x2-1)>-f(x)=f(-x), ∴2x2-1>-x,即2x2+x-1>0, 解得x<-1或x>12, ∴x的取值范围是(-∞,-1)∪12,+∞. 故选BD. 18.(多选)(2021重庆八中高二期末)下列函数在定义域上为增函数的有(　　) A.f(x)=2x4 B.f(x)=xex C.f(x)=x-cos x D.f(x)=ex-e-x-2x 答案CD 解析函数f(x)=2x4定义域为R,其导数为f'(x)=8x3,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域R上不是增函数; 函数f(x)=xex定义域为R,其导数为f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数; 函数f(x)=x-cos x定义域为R,其导数为f'(x)=1+sin x≥0,所以f(x)在定义域R上是增函数; 函数f(x)=ex-e-x-2x定义域为R,其导数为f'(x)=ex+e-x-2≥2ex·e--2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)在定义域R上是增函数.故选CD. 19.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是　　　　　.  答案1,32 解析显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-1x=4x2-1x. 由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为12,+∞;由f'(x)<0,得函数f(x)单调递减区间为0,12.因为函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以k-1<12<k+1,解得-12<k<32,又因为(k-1,k+1)为定义域的一个子区间,所以k-1≥0,即k≥1.综上可知,1≤k<32. 20.(2021江西南昌新建一中高二期末)已知f(x)满足f(4)=f(-3)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是　　　　　.  答案(-3,4) 解析由函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. 因为f(4)=f(-3)=1,所以当x≤0时,由f(x)<1=f(-3),可得-3<x≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),可得0<x<4. 综上所述,不等式f(x)<1的解集为(-3,4). 21.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x,其中a∈R.求函数f(x)的单调区间. 解由f(x)=x2-(a+2)x+aln x可知,函数f(x)的定义域为{x|x>0},且f'(x)=2x-(a+2)+ax=(2x-a)(x-1)x(x>0).令f'(x)=0,得x1=1,x2=a2. ①当a2≤0,即a≤0时,由f'(x)>0,得x>1; 由f'(x)<0,得0<x<1.则函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). ②当0<a2<1,即0<a<2时,由f'(x)>0,得0<x<a2或x>1; 由f'(x)<0,得a2<x<1. 则函数f(x)的单调递增区间为0,a2,(1,+∞), 函数f(x)的单调递减区间为a2,1. ③当a2=1,即a=2时,f'(x)≥0恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ④当a2>1,即a>2时,由f'(x)>0,得0<x<1或x>a2; 由f'(x)<0,得1<x<a2. 则函数f(x)的单调递增区间为(0,1),a2,+∞,函数f(x)的单调递减区间为1,a2. 综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);当0<a<2时,f(x)的单调递增区间为0,a2,(1,+∞),单调递减区间为a2,1;当a=2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>2时,f(x)的单调递增区间为(0,1),a2,+∞,单调递减区间为1,a2. 学科素养创新练 22.(多选)(2020山东日照莒县高二期中)下列不等式正确的有(　　) A.ln 3<3ln 2 B.ln π<πe C.215<15 D.eln 2<2 答案ACD 解析构造函数f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,当0<x<e时,f'(x)>0,则f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,所以当x=e时,f(x)取得最大值1e. ln 3<3ln 2⇔2ln3<3ln 2⇔ln33<ln22, 由3<2<e可得f(3)<f(2),故A正确; ln π<πe⇔lnππ<lnee,由e<π<e,可得f(e)<f(π),故B错误; 215<15⇔log2215<log215⇔15<ln15ln2,由f(16)<f(15)可推导出ln1616<ln1515,即4ln24<ln1515,即ln 2<ln1515,故C正确; eln 2<2⇔ln22<1e,而f(x)的最大值为f(e)=1e,故D正确. 23.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是(　　) A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.fx1+x22>f(x1)+f(x2)2 D.fx1+x22<f(x1)+f(x2)2 答案AD 解析 由题中图象可知,f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此函数f(x)为减函数,并且当x越来越大时,函数递减得越来越慢,图象下降得越来越“平缓”,由此可得f(x)的大致图象如图所示. A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率f(x1)-f(x2)x1-x2为负,故A正确,B不正确;fx1+x22表示x1+x22对应的函数值,即图中点B的纵坐标,f(x1)+f(x2)2表示当x=x1和x=x2时所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有fx1+x22<f(x1)+f(x2)2,故C不正确,D正确.故选AD. 9