第四章　3.1　二倍角公式.docx

§3　二倍角的三角函数公式 3.1　二倍角公式 课后篇巩固提升 基础达标练 1.cos π12-sin π12cos π12+sin π12=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-32 B.-12 C.12 D.32 解析原式=cos2π12-sin2π12=cosπ6=32,故选D. 答案D 2.若tan α=3,则sin2αcos2α的值等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2tan α=2×3=6. 答案D 3.已知sinπ4-x=35,则cos π2-2x的值为(　　) A.1925 B.1625 C.1425 D.725 解析cosπ2-2x=cos 2π4-x =1-2sin2π4-x=1-2×352=725. 答案D 4.设a=2sinπ5cosπ5,b=cos25°-sin25°,c=tan30°1-tan230°,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 解析a=2sinπ5cosπ5=sin2π5, b=cos25°-sin25°=cos 10°=sin 80°=sin4π9, c=tan30°1-tan230°=12tan 60°=32=sinπ3, 又y=sin x在0,π2上单调递增, 且0<π3<2π5<4π9<π2,所以c<a<b. 答案C 5.(多选)若α为锐角,3sin α=tan α=2tan β,则(　　) A.cos α=12 B.tan α=22 C.tan β=2 D.tan 2β=-43 解析因为α为锐角,3sin α=tan α, 所以cos α=13,所以A错误; 所以sin α=1-132=223, 所以tan α=sinαcosα=22313=22,所以B正确; 因为tan α=2tan β,所以tan β=2,所以C正确; 由tan 2β=2tanβ1-tan2β,得tan 2β=-43,所以D正确. 答案BCD 6.(多选)函数f(x)=12sin 2x+sin2x,x∈R,下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(0)=0 C.1-22,1+22 D.-1+22,1-22 解析f(x)=12sin 2x+sin2x=12sin 2x-12cos 2x+12 =22sin2x-π4+12, 所以T=2π2=π,所以A不正确; f(0)=22×-22+12=0,所以B正确; 因为-1≤sin2x-π4≤1, 所以f(x)=12sin 2x+sin2x的值域为1-22,1+22,所以C不正确,D正确. 答案BD 7.2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的 面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于　　　　.  解析由题意,得5cos θ-5sin θ=1,θ∈0,π4. 所以cos θ-sin θ=15.又(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,所以cos θ+sin θ=75. 所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=725. 答案725 8.已知α∈π2,π,sin α=55,则tan 2α=　　　　　.  解析由α∈π2,π,sin α=55,得cos α=-255,tan α=sinαcosα=-12,tan 2α=2tanα1-tan2α=-43. 答案-43 9.求下列各式的值: (1)2cos2α-12tanπ4-αsin2π4+α; (2)23tan 15°+tan215°; (3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解(1)原式=cos2α2tanπ4-αcos2π2-π4-α =cos2α2tanπ4-αcos2π4-α =cos2α2sinπ4-αcosπ4-α=cos2αsin2×π4-2α =cos2αcos2α=1. (2)原式=3tan 30°(1-tan215°)+tan215° =3×33(1-tan215°)+tan215°=1. (3)(方法一)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70° =12cos 20°cos 40°cos 80° =2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20° =sin40°cos40°cos80°4sin20° =sin80°cos80°8sin20°=116·sin160°sin20°=116. (方法二)令x=sin 10°sin 50°sin 70°, y=cos 10°cos 50°cos 70°. 则xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70° =12sin 20°·12sin 100°·12sin 140° =18sin 20°sin 80°sin 40° =18cos 10°cos 50°cos 70°=18y. 因为y≠0,所以x=18. 从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=116. 10.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,3). (1)求sin 2α-tan α的值; (2)若函数f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数g(x)=3fπ2-2x-2f2(x)在区间0,2π3上的值域. 解(1)因为角α的终边经过点P(-3,3), 所以sin α=12,cos α=-32,tan α=-33. 所以sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α =-32+33=-36. (2)因为f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x, 所以g(x)=3cosπ2-2x-2cos2x =3sin 2x-1-cos 2x=2sin2x-π6-1. 因为0≤x≤2π3,所以-π6≤2x-π6≤7π6. 所以-12≤sin2x-π6≤1, 所以-2≤2sin2x-π6-1≤1,故函数g(x)=3fπ2-2x-2f2(x)在区间0,2π3上的值域是[-2,1]. 能力提升练 1.4sin 80°-cos10°sin10°=(　　) A.3 B.-3 C.2 D.22-3 解析4sin 80°-cos10°sin10°=4cos10°sin10°-cos10°sin10° =2sin20°-cos10°sin10°=2sin(30°-10°)-cos10°sin10° =2(sin30°cos10°-cos30°sin10°)-cos10°sin10° =-3. 答案B 2.已知cos α,sin α是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,则sin 2α=(　　) A.2-22 B.22-2 C.2-1 D.1-2 解析因为cos α,sin α是函数f(x)=x2-tx+t(t∈R)的两个零点,所以sin α+cos α=t,sin αcos α=t,由sin2α+cos2α=1, 得(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1, 即t2-2t=1,解得t=1-2,或t=1+2(舍). 所以sin 2α=2sin αcos α=2t=2-22. 答案A 3.2cos2x-12tanπ4-xsin2π4+x可化简为(　　) A.1 B.-1 C.cos x D.-sin x 解析原式=cos2x2tanπ4-xcos2π4-x =cos2x2·sinπ4-xcosπ4-xcos2π4-x =cos2x2sinπ4-xcosπ4-x=cos2xsinπ2-2x=1. 答案A 4.若α∈0,π2,且cos2α+cosπ2+2α=310,则tan α=(　　) A.12 B.14 C.13 D.13或-7 解析cos2α+cosπ2+2α=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=cos2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=1-2tanαtan2α+1=310,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=13或tan α=-7.又α∈0,π2,所以tan α=13,故选C. 答案C 5.(多选)已知ω>0,函数f(x)=sin ωxcos ωx+3cos2ωx-32的最小正周期为π,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于直线x=π12对称 B.函数f(x)在区间π12,7π12上单调递增 C.将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度可得函数g(x)=cos 2x的图象 D.当x∈0,π2时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-32 解析因为f(x)=sin ωxcos ωx+3cos2ωx-32=12sin 2ωx+32cos 2ωx=sin2ωx+π3,所以T=2π2ω=π,所以ω=1,所以f(x)=sin2x+π3. 由2x+π3=π2,得x=π12,所以函数f(x)的图象关于直线x=π12对称,所以A正确; 当x∈π12,7π12时,2x+π3∈π2,3π2,所以函数f(x)在区间π12,7π12上单调递减,故B不正确; 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度所得图象对应的函数为y=fx-π6=sin2x-π6+π3=sin 2x,所以C不正确; 当x∈0,π2时,2x+π3∈π3,4π3,所以f(x)∈-32,1,故D正确. 答案AD 6.已知α,β为锐角,且1-cos 2α=sin αcos α,tan(β-α)=13,则tan α=　　　;β=　　　.  解析由1-cos 2α=sin αcos α,得1-(1-2sin2α) =sin αcos α,即2sin2α=sin αcos α. 因为α为锐角,所以sin α≠0, 所以2sin α=cos α,即tan α=12. (方法一)由tan(β-α)=tanβ-tanα1+tanβtanα=tanβ-121+12tanβ=13,得tan β=1.因为β为锐角,所以β=π4. (方法二)tan β=tan(β-α+α)=tan(β-α)+tanα1-tan(β-α)tanα=13+121-13×12=1.因为β为锐角,所以β=π4. 答案12　π4 7.求证:(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B; (2)cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ. 证明(1)左边=1+cos(2A+2B)2-1-cos(2A-2B)2 =cos(2A+2B)+cos(2A-2B)2 =12(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立. (2)法一:左边=cos2θ1-sin2θcos2θ =cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边. 法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ =cos2θ1-sin2θcos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左边. 8.已知sin α+cos α=355,α∈0,π4,sinβ-π4=35,β∈π4,π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值; (2)求cos(α+2β)的值. 解(1)由题意得(sin α+cos α)2=95,即1+sin 2α=95, 所以sin 2α=45,又易知2α∈0,π2, 所以cos 2α=1-sin22α=35, 所以tan 2α=sin2αcos2α=43. (2)因为β∈π4,π2,β-π4∈0,π4,sinβ-π4=35, 所以cosβ-π4=45, 所以sin 2β-π4=2sinβ-π4cosβ-π4=2425. 又sin 2β-π4=-cos 2β,所以cos 2β=-2425. 又易知2β∈π2,π,所以sin 2β=725. 又cos2α=1+cos2α2=45,所以cos α=255, 所以sin α=55, 所以cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=255×-2425-55×725=-11525. 素养培优练 1.有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD,使其一边AD落在圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大? 解如图所示, 设∠AOB=θθ∈0,π2,则AB=asin θ,OA=acos θ. 设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB, 所以S=2acos θ·asin θ=a2·2sin θcos θ=a2sin 2θ. 因为θ∈0,π2,所以2θ∈(0,π). 因此,当2θ=π2,即θ=π4时,Smax=a2. 这时点A,D到点O的距离为2a2, 矩形ABCD的面积最大值为a2. 2.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (Ⅰ)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; (Ⅱ)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; (Ⅲ)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; (Ⅳ)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; (Ⅴ)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解法一:(1)选择(Ⅱ)式,计算如下: sin215°+cos215°-sin 15°cos 15° =1-12sin 30°=1-14=34. (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34. 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =sin2α+cos(30°-α)[cos(30°-α)-sin α] =sin2α+cos(30°-α)(cos 30°cos α+sin 30°sin α-sin α) =sin2α+cos(30°-α)(cos 30°cos α-sin 30°sin α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)(cos 30°cos α-sin 30°sin α) =sin2α+cos230°cos2α-sin230°sin2α =sin2α+34cos2α-14sin2α =34sin2α+34cos2α=34. 法二:(1)同法一. (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34. 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=12-12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-32sin αcos α-12sin2α=12-12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α-34sin 2α-14(1-cos 2α)=34. 9