2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．4 圆锥曲线的应用 Word版含解析数学备课大师【公众号悦过学习】.doc

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！ 2.4圆锥曲线的应用 椭圆、双曲线的应用 我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6 371 km如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，AB与地球交于C，D两点．求卫星运行的轨道方程．(结果精确到1 km) [自主解答]　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由题意知 |AC|＝439，|BD|＝2 384，|F2C|＝|F2D|＝6 371. a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝439＋6 371＝6 810， a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝2 384＋6 371＝8 755， 解得a＝7 782.5，c＝972.5， 所以b＝＝≈7 722. 因此，卫星运行的轨道方程是＋＝1. (1)有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点”． (2)解决实际应用题的一般思路是：首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直角坐标系；然后设出待求椭圆、双曲线的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式，求解方程． 1.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处，如图所示，PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系．设M是分界线上的点，则有|MA|＋|PA|＝|MB＋|PB|，于是有|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50.这说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，在△APB中，由余弦定理得：|AB|2＝|AP|2＋|PB|2－2|AP|·|PB|·cos 60°＝17 500，从而a＝25，c2＝＝4 375，b2＝c2－a2＝3 750，所以所求分界线方程为：－＝1(x≥25)，于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P点，右侧的土沿BP运到P点最省工． 抛物线的应用 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． [自主解答]　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则点B的坐标为， 由点B在抛物线上， 得2＝－2p，所以p＝， 所以抛物线方程为x2＝－ay. 将点(0.8，y0)代入抛物线方程，得y0＝－. 欲使卡车通过隧道，应有－|y0|＝－＞3. 解得a＞12.21，或a＜－0.21(舍去)． ∵a取整数，∴a的最小值为13. 在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用． 2.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，则水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 解：以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意知，点A(4，－5)在 抛物线x2＝－2py(p＞0)上， ∴16＝－2p×(－5)，2p＝. ∴抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4)． 设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于B，B′时，船开始不能通航，设B(2，y′)，由22＝－y′，得y′＝－， ∴水面与抛物线拱顶相距 |y′|＋＝2(m)．故水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时，船开始不能通航． 解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 已知椭圆＋＝1(a>b>0)与x轴的交点为A1，A2，P是椭圆上任一点，F是它的一个焦点，证明：以线段PF为直径的圆与以线段A1A2为直径的圆相切． [巧思]　判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．若M为PF的中点，则圆心距为|OM|. [妙解]　由椭圆方程＋＝1(a>b>0)知， 以线段A1A2为直径的圆为x2＋y2＝a2. 设F1是椭圆的另外一个焦点，点M是线段PF的中点， 则|MO|＝|PF1|＝(2a－|PF|)＝a－|PF|. 即以线段A1A2为直径的圆(圆心为O)与以线段PF为直径的圆(圆心为M)的圆心距等于两圆的半径之差，于是两圆相切． 1．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)∪(－6，－2) 解析：要满足方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆需有解得－6<a<－2或a>3. 答案：D 2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　) A．1　　　　　　　 B. C．2 D．3 解析：因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于A，B，所以△AOB的面积为××p＝，又p＞0，所以p＝2. 答案：C 3．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于(　　) A.－1 B. C.＋1 D.＋2 解析：△PF1F2是等腰直角三角形，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a,2c－2c＝2a，e＝＝＝＋1. 答案：C 4．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________． 解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5， ∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点， ∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4. 答案：4 5．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且AF1＝3AF2，则该双曲线的离心率为________． 解析：由AF1＝3AF2，设AF2＝m，AF1＝3m(m>0)，则2a＝AF1－AF2＝2m,2c＝＝m， ∴离心率e＝＝. 答案： 6．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长． 解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意知，点P(10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p×(－4)，2p＝25， 即抛物线方程为x2＝－25y. ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6. 由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)， 代入x2＝－25y，得yB＝－， ∴AB＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米． 一、选择题 1．若直线kx＋y－1＝0(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(0,5) C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：直线kx＋y－1＝0恒过点(0,1)， 由题意知，该点在椭圆内或椭圆上， 故有解得m≥1且m≠5，故选C. 答案：C 2．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　) A．(0,0) B. C．(1，) D．(2,2) 解析：设M(x0，y0)，则|MF|可以看作是点M到准线的距离，当点M移动到和点A的纵坐标相等时，|MF|＋|MA|取得最小值，即y0＝2，代入y2＝2x，得x0＝2，即M(2,2)． 答案：D 3．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为(　　) A．9 B．12 C．10 D．8 解析：∵·＝0，∴PF1⊥PF2. ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a. 又a＝5，b＝3，∴c＝4. ∴ ②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝102－64， ∴|PF1|·|PF2|＝18. ∴△F1PF2的面积为 S＝·|PF1|·|PF2|＝9. 答案：A 4．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由已知MF1⊥MF2， ∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2， ∴(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1||MF2|＝|F1F2|2， 即(|MF1|－|MF2|)2＝(2)2－4＝36. ∴|MF1|－|MF2|＝±6， ∴a＝3，c＝，∴b＝1， ∴双曲线方程是－y2＝1. 答案：A 二、填空题 5．若曲线＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________． 解析：由题意知(4＋k)(1－k)<0，即(k＋4)(k－1)>0，∴k>1或k<－4. 答案：(－∞，－4)∪(1，＋∞) 6．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________. 解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点． 又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8. 于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝. 答案： 7．双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则双曲线的方程为________． 解析：设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，焦距2c＝10，c2＝25. 当λ>0时，－＝1，λ＋＝25，λ＝20； 当λ<0时，－＝1， －λ＋＝25，λ＝－20. ∴双曲线方程为－＝1或－＝1. 答案：－＝1或－＝1 8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为________． 解析：由题意，得1＋＝5，∴p＝8，∴m＝4，∴M(1,4)，又A(－，0)，∴直线AM的斜率为kAM＝＝，∴＝，∴a＝. 答案： 三、解答题 9.连霍高速公路的某隧道，其横断面由抛物线的一段与矩形三边组成，尺寸如图所示．一辆卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，卡车与箱共高4.5米，此时，卡车能否通过此隧道，请说明理由． 解：以此隧道的横断面的抛物线拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，依题意知点A(3，－3)在抛物线上， ∴32＝－2p×(－3)，解得p＝， ∴抛物线的标准方程为x2＝－3y. 又集装箱宽3米，∴当x＝1.5时，y＝－0.75， 即离隧道中心线1.5米处，隧道面离地面的距离为5－0.75＝4.25米，而箱顶离地面的高度为4.5米，故此时卡车不能通过此隧道． 10.一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，F1B＝2.8 cm，F1F2＝4.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm)． 解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为 ＋＝1(a>b>0)． 在Rt△BF1F2中，F2B＝＝. 由椭圆的定义，知F1B＋F2B＝2a，所以a＝(F1B＋F2B)＝(2.8＋)≈4.1，b＝＝≈3.4， 所以，所求的椭圆方程为＋＝1. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！