8.6.3　平面与平面垂直.docx

第八章立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.3　平面与平面垂直 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　 A.90° B.60° C.45° D.30° 答案A 解析∵PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC, ∴BA⊥PA,CA⊥PA, 因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角. 又∠BAC=90°,故选A. 2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有(　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.5对 答案D 解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A, ∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB, 又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD. ∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对. 3.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　) A.若m⊥β,α⊥β,则m∥α B.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥α C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α 答案D 解析当m⊂α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;若α∩β=n,显然n⊂α,这时m⊂α,n⊂β,m⊥n也可以成立,所以B选项错误;当m∥n时,显然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C选项错误;因为n⊥β,m⊥β,所以m∥n.又因为n⊥α,所以m⊥α,所以D选项正确.故选D. 4.如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　.  答案2 解析取 AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE. 由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中, CD=DE2+CE2=2. 5.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　　.  答案45° 解析过 A作AO⊥BD于点O, ∵平面ABD⊥平面BCD, ∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角. ∵∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠ADO=45°. 6.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为　　　　　.  答案90° 解析取 BD中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD, ∴AO⊥BD,CO⊥BD, ∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角. ∴∠AOC=90°. 又∠BAD=∠BCD=90°, ∴△BAD与△BCD均为直角三角形. ∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC, ∴△ACD为等边三角形. ∵E为CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°. 7.三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB; (3)求点B到平面MOC的距离. (1)证明∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB. 又VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC, ∴VB∥平面MOC. (2)证明∵AC=BC,O为AB的中点, ∴OC⊥AB. 又平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC, ∴OC⊥平面VAB,又OC⊂平面MOC, ∴平面MOC⊥平面VAB. (3)解连接MB,VO,过M作MD⊥AB,垂足为D,图略,设h'为点B到平面MOC的距离,h为点M到平面BOC的距离. ∵VM-BOC=VB-MOC,∴13S△BOC×h=13S△MOC×h'. ∵平面VAB⊥平面ABC,VO⊥AB,∴VO⊥平面ABC. 又△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O为AB中点,∴VO=3. 又MD⊥AB,M为VA中点, ∴MD=12VO=h=32. ∵S△BOC=12×1×1=12,S△MOC=12×1×1=12, ∴h'=32,即点B到平面MOC的距离为32. 8. 如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=3. (1)求证:平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大小. (1)证明如 图所示,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点, 所以BE⊥CD. 又因为AB∥CD,所以BE⊥AB. 又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD, 所以PA⊥BE.而PA∩AB=A, 因此BE⊥平面PAB. 又因为BE⊂平面PBE, 所以平面PBE⊥平面PAB. (2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB, 所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE, 所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角. 在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°. 关键能力提升练 9. 如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点 答案D 解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°. ∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点. 10. 如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC的内部 答案A 解析因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B, 所以AC⊥平面ABC1. 因为AC⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ABC1. 又因为平面ABC∩平面ABC1=AB, 所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB, 即H在直线AB上. 11.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是(　　) A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 答案ABC 解析如 图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形, ∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM⊂平面PMB, ∴AD⊥平面PMB,故A正确; 对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确; 对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM, ∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=32,PM=32, 在Rt△PBM中,tan∠PBM=PMBM=1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确; 对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误. 12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)  答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一) 解析连 接AC,则AC⊥BD. ∵PA⊥底面ABCD, BD⊂平面ABCD, ∴PA⊥BD. ∵PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC, ∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD, ∴平面MBD⊥平面PCD. 13. 如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　　.  答案2 解析取AB的中点E,连接DE,CE, 因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时, 因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC. 可知DE⊥CE. 由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=DE2+CE2=2. 14.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的四边形ACGD的面积. (1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC, 故AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE, 故DE⊥CG. 由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM. 因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4. 15. 如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点. (1)求证:EF⊥PD; (2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值; (3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值. (1)证明连接BD,在△ABC中,∠B=90°. ∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC. 又∵PB⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, ∴AC⊥PB. ∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD. ∵E,F分别为AB,BC的中点, ∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD, ∵PD⊂平面PBD,∴EF⊥PD. (2)解连接BD交EF于点O,由(1)知EF⊥平面PBD, ∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,且PO⊂平面PBD,∴EF⊥PO. ∵PB⊥平面ABC,BC,AB⊂平面ABC, ∴PB⊥AB,PB⊥BC. ∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2. ∵OF=14AC=22,∴PF=PB2+BF2=5. 在Rt△FPO中,sin∠FPO=OFPF=1010, ∴直线PF与平面PBD所成的角的正弦值为1010. (3)解过点B作BM⊥PF于点M,连接EM. ∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B, ∴AB⊥平面PBC, ∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC. ∵PF⊂平面PBC,∴PF⊥BE. 又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME, ∵EM⊂平面BME,∴PF⊥EM, ∴∠BME为二面角E-PF-B的平面角. 在Rt△PBF中,BM=BF·PBPF=25, ∴tan∠BME=BEBM=125=52. ∴二面角E-PF-B的平面角的正切值为52. 学科素养创新练 16.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F为侧棱PC上的任意一点. (1)求证:平面AFD⊥平面PAB; (2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由. (1)证明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA⊂平面PAC, ∴PA⊥平面ABCD. 又AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD. 又AB⊥AD,PA∩AB=A, ∴AD⊥平面PAB,又AD⊂平面AFD, ∴平面AFD⊥平面PAB. (2)解存在点F,当AF⊥PC时,直线AF与平面PCD垂直. 证明如下, 由AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2, 得AC=CD=2, ∴CD⊥AC. 又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD, ∵PA∩AC=A, ∴CD⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC, ∴CD⊥AF. 又AF⊥PC,CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD. 在△PAC中,PA=2,AC=2, ∠PAC=90°, ∴PC=PA2+AC2=6,AF=PA·ACPC=233,PF=PA2-AF2=263. ∴存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直.此时线段PF的长为263. 10