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2.5.2　圆与圆的位置关系 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.两圆x2+y2-2x-2y=0和x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　) 　　　　　　　　　　　　 A.x+y+3=0 B.x-y+2=0 C.x+y-2=0 D.2x-y-1=0 解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0. 答案C 2.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则(　　) A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8 C.E=-4,F=-8 D.E=4,F=8 解析联立x2+y2-2x+F=0,　　　　　①x2+y2+2x+Ey-4=0,② ②-①可得4x+Ey-F-4=0, 即x+E4y-F+44=0, 由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0, 得E4=-1,-F+44=1,解得E=-4,F=-8. 答案C 3.已知两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c的值为(　　) A.-1 B.1 C.3 D.0 解析由题意知,直线x-y+c=0为线段AB的垂直平分线,且AB的中点1+m2,1在直线x-y+c=0上, ∴1+m2-1+c=0,∴m+2c=1. 答案B 4.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为(　　) A.23 B.94 C.32 D.62 解析由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1. 圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2. ∵圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切, ∴|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得ab≤a+b22=94,当且仅当a=b=32时,等号成立.故选B. 答案B 5.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是　.  解析两圆的连心线的长为d=a2+b2. ∵两圆相外离,∴d>2+1, ∴a2+b2>3+22. 答案a2+b2>3+22 6.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　　.  解析∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4. 又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1, 圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1, 则|C1C2|=a2+b2=4=2, ∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切. 答案外切 7.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程; (2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为25的圆的方程. 解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0, 由y=-2xx-y-3=0求得x=1,y=-2. 即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=2, 所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为5,故两圆连心线斜率k=4-22-1=2. 设所求圆心为(a,b), 所以(a-1)2+(b-2)2=35,4-b2-a=2, 解得a=4,b=8,或a=-2,b=-4.(舍去) 所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20. 关键能力提升练 8.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有(x-5)2+(y+7)2=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有(x-5)2+(y+7)2=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25. 答案D 9.已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P(不同于M,N),使得PM⊥PN,则实数r的取值范围是(　　) A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3) D.[1,3] 解析由PM⊥PN得,点P在以MN为直径的圆上(不同于M,N), 以MN为直径的圆的方程为x2+y2=4. 由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r>0), 所以两圆的圆心距d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5. 答案A 10.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为(　　) A.83 B.-83 C.-6 D.6 解析两圆外离,则(2-a)2+(3-4)2>2+4, 即(a-2)2>35, 设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx, 则|2k-3|k2+1=2,解得k=512, 则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-1k=-125, 直线l2的方程为y=-125x,即12x+5y=0, 所以|12a+20|122+52=4, 解得a=-6或a=83, 结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C. 答案C 11.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆O:x2+y2=14上的动点,点F是圆C:(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为(　　) A.2 B.52 C.3 D.4 解析易得点P(t,t-1)在直线x-y-1=0上. 设圆O关于直线x-y-1=0对称的圆为圆C1,则C1:(x-1)2+(y+1)2=14. 由几何知识知,当F,E1,P共线时,|PF|-|PE|=|PF|-|PE1|=|E1F|=|C1C|+12+32=4.故选D. 答案D 12.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　) A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49 解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2. A项,圆心C1(-2,-2),半径r1=3, ∵|C1C|=17∈(r1-r,r1+r), ∴两圆相交;B项,圆心C2(2,-2),半径r2=3, ∵|C2C|=5=r+r2, ∴两圆外切,满足条件; C项,圆心C3(2,2),半径r3=5, ∵|C3C|=3=r3-r,∴两圆内切; D项,圆心C4(2,-2),半径r4=7, ∵|C4C|=5=r4-r,∴两圆内切. 答案BCD 13.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是(　　) A.-16 B.-9 C.11 D.12 解析化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为25+k; 圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1. 要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>25+k+1或|C1C2|<25+k-1, 即5>25+k+1或5<25+k-1, 解得-25<k<-9或k>11. ∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞). 满足这一范围的有A和D. 答案AD 14.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　.  解析圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0), 则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,12, 半径为r=1222+12=52. 可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-122=54,即x2+y2-2x-y=0, 两圆的方程相减可得直线AB的方程2x+y-1=0. 因为点P为直线x+2y-4=0上一动点, 设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线, 所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-m22=(2-m)2+m24, 又由圆C的方程为x2+y2=1, 两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1, 可得14,12满足上式,即AB过定点14,12. 答案2x+y-1=0　14,12 15.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则1a2+1b2的最小值为　　　　　.  解析由题意知两圆内切,根据两圆分别为C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0,得圆心分别为(-2a,0)和(0,b),半径分别为2和1,故有4a2+b2=1,所以4a2+b2=1,所以1a2+1b2=1a2+1b2(4a2+b2)=5+b2a2+4a2b2≥5+2b2a2·4a2b2=9,当且仅当b2a2=4a2b2,即b2=2a2=13时,等号成立. 所以1a2+1b2的最小值为9. 答案9 16.在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程; (2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围. 解(1)由y=2x-4,y=x-1,得圆心C(3,2). ∵圆C的半径为1, ∴圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1. 过点A作圆C的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0, ∴|3k-2+3|k2+1=1,∴|3k+1|=k2+1, ∴2k(4k+3)=0, ∴k=0或k=-34,∴所求圆C的切线方程为y-3=0或3x+4y-12=0. (2)∵圆C的圆心在直线l:y=2x-4上, ∴设圆心C(a,2a-4), 则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1. 又|MA|=2|MO|,∴设M(x,y),则x2+(y-3)2=2x2+y2, 整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D, ∴点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点, ∴2-1≤a2+[(2a-4)-(-1)]2≤2+1, 解得0≤a≤125,所以a的取值范围为0,125. 学科素养创新练 17.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切. (1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径. (2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由. 解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=|a-2a+1|12+12=|a-1|2,两圆的圆心距为(a-1)2+(2a-2)2=5|a-1|=10r, 因为两圆外切,所以10r=r+9,∴r=10+1. (2)有.如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2), ①若斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=|a-1|2,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线, ②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1), 则d=|ka-2a+2-k|1+k2=r=|a-1|2对任意的a都成立,|(k-2)(a-1)|1+k2=|a-1|2,|k-2|1+k2=12, 两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7, 当k=1时,直线与l1重合, 当k=7时,直线方程为7x-y-5=0, 故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0. 6