2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2．1.2　椭圆的简单几何性质 Word版含解析数学备课大师【公众号悦过学习】.doc

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！ 2．1.2　椭圆的简单几何性质 第一课时　椭圆的简单几何性质 [读教材·填要点] 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0＜e＜1) 2．椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度间的关系 (1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁； (2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆． [小问题·大思维] 1．椭圆＋＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？ 提示：根据椭圆的标准方程＋＝1， 得a＝5，b＝3，则c＝＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6. 离心率e＝＝＝0.8. 焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)， 顶点为A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)． 2．如何用a，b表示离心率？ 提示：由e＝得e2＝＝， ∴e＝ . ∴e＝. 3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远． 4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离，分别为a＋c和a－c. 由椭圆方程研究简单几何性质 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [自主解答]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6， 所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝. 两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)． 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴． 1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝； (2)椭圆C2：＋＝1， 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e＝. 由椭圆的简单几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e＝； (2)焦距为6，在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直． [自主解答]　(1)当椭圆的焦点在x轴上时， 因为a＝3，e＝， 所以c＝.从而b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝， 所以＝.所以a2＝27. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由已知，得c＝3，b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程． 2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为. 解：(1)若椭圆的焦点在x轴上， 设方程为＋＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(2,0), ∴＝1，a＝2. ∵2a＝2·2b，∴b＝1.∴方程为＋y2＝1. 若椭圆的焦点在y轴上． 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1. ∴b＝2,2a＝2·2b. ∴a＝4. ∴方程为＋＝1. 综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由已知∴ 从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 求椭圆的离心率 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A.　　 B.　　　　C.　　　　D. [自主解答]　法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． [答案]　D 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 解：由题意，知c>b，∴c2>b2. 又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝>， ∴e>.故C的离心率的取值范围为. 椭圆的离心率的求法 求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地： (1)若已知a，c，则直接代入e＝求解； (2)若已知a，b，则由e＝ 求解； (3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可． 3．已知椭圆的两个焦点F1，F2与短轴的端点B构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率． 解：如图，|F1F2|＝2c， ∵|BF1|＋|BF2|＝2a，且△BF1F2为等腰直角三角形． ∴|BF1|＝|BF2|＝a＝c. ∴离心率e＝＝. 解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路 椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆的离心率的取值范围． [巧思]　由∠APO＝90°可知：点P(x，y)在以OA为直径的圆上，且P点又在椭圆上． 然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P点的横坐标．利用0<x<a建立关于a，b，c的不等关系． [妙解]　设P(x，y)，由∠APO＝90°知：P点在以OA为直径的圆上． 圆的方程是：2＋y2＝2⇒y2＝ax－x2.① 又P点在椭圆上，故＋＝1.② 把①代入②得： ＋＝1⇒(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0， 故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0， x≠a，x≠0⇒x＝.又0<x<a， ∴0<<a⇒2b2<a2⇒a2<2c2⇒e>. 又∵0<e<1， 故所求的椭圆离心率的取值范围是. 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13,0)　　　　　　　　 B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 解析：由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10， 则c＝ ＝. 答案：D 2．椭圆＋＝1的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8， ∴c2＝a2－b2＝8. ∴e2＝＝.∴e＝. 答案：D 3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m等于(　　) A. B．2 C．4 D. 解析：由条件可知＝2，解得m＝. 答案：D 4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________. 解析：由题意知椭圆焦点在x轴上， ∴在直线x＋2y－2＝0中， 令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1. ∴a＝＝.∴e＝＝. 答案： 5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． 解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3， ∴椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 6．已知椭圆＋＝1(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 解：椭圆方程为＋＝1， ∴a2＝2m＋1，b2＝m. ∴c＝＝. 由e＝，得 ＝，解得m＝， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. ∴a＝，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为， 两焦点坐标分别为F1，F2， 顶点坐标分别为A1(－，0)，A2(，0)，B1，B2. 一、选择题 1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　) A．C1与C2顶点相同　　　 B．C1与C2长轴长相同 C．C1与C2短轴长相同 D．C1与C2焦距相等 解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D. 答案：D 2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　) A．8,2　　　　　　　 B．5,4 C．5,1 D．9,1 解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1. 答案：D 3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：∵＝，且c＝， ∴a＝，b＝＝1. ∴椭圆方程为＋y2＝1. 答案：A 4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝. 答案：A 二、填空题 5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 答案：4,3 6．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若∠ABF＝90°，则椭圆的离心离为________． 解析：由已知|AB|2＋|BF|2＝|AF|2， ∴(a2＋b2)＋a2＝(a＋c)2. ∴a2＋b2＝2ac＋c2. 又b2＝a2－c2， ∴c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0. ∴e＝. 答案： 7．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F(3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________． 解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a和2b的菱形，因此其面积为S＝·2a·2b＝2ab＝40， ∴ab＝20.又c＝3，且a2－b2＝c2. ∴a2－＝9，a4－9a2－400＝0. ∴a2＝25或a2＝－16(舍去)． ∴a＝5，b＝4，所求方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________． 解析：由椭圆＋＝1，可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6. 答案：6 三、解答题 9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程． 解：e＝＝＝，∴＝. ∴a2＝3b2，即a＝b. 过A(0，－b)，B(a,0)的直线为－＝1， 把a＝b代入，即x－y－b＝0. 又由点到直线的距离公式得 ＝，解得b＝1，∴a＝. ∴所求方程为＋y2＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率． 解：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)． 直线PF1的方程为x＝－c， 代入方程＋＝1，得y＝±，∴P. ∵PF2∥AB，且kPF＝＝， 又kAB＝－，∴由kPF ＝kAB，得－＝－. ∴b＝2c.∴a＝＝c. ∴e＝＝，即椭圆离心率为. 第二课时　直线与椭圆的位置关系 [读教材·填要点] 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 [小问题·大思维] 1．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是什么？ 提示：∵点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部， ∴＋<1，解得－<a<， 即a的取值范围为(－，)． 2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等． 3．直线(1)y＝x＋1；(2)y＝x＋；(3)y＝x＋2分别与椭圆＋y2＝1各有什么样的位置关系？ 提示：(1)由得3x2＋4x＝0. ∵Δ＝16＞0， ∴直线与椭圆相交． (2)由得3x2＋4x＋4＝0. ∵Δ＝(4)2－4×3×4＝0， ∴直线与椭圆相切． (3)由得3x2＋8x＋6＝0. ∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0， ∴直线与椭圆相离． 直线与椭圆位置关系 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． [自主解答]　由 消去y，得＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)． 当－<m<时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离． 判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程， 记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0. 1．k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 解：由消去y，得2x2＋3(kx＋2)2＝6， 即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0. Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48. 当Δ＝72k2－48>0，即k<－或k>时， 直线和曲线有两个公共点． 当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时， 直线和曲线有一个公共点． 当Δ＝72k2－48<0时，即－<k<时， 直线和曲线没有公共点． 弦长问题 已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． [自主解答]　∵a2＝4，b2＝1， ∴c＝＝.∴右焦点F(，0)． ∴直线l方程为y＝x－. 由消去y并整理得5x2－8x＋8＝0. 设直线l与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 即弦AB的长为. 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长． (1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法. (2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∴|AB|＝， ＝＝ · ＝·. 其中，x1＋x2，x1x2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程求得． 2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段AB的长为.求椭圆方程． 解：∵a＝2b，且焦点在x轴上， ∴设椭圆方程为＋＝1. 联立得5x2＋16x＋16－4b2＝0， ∴ ∴|AB|＝ ＝·|x1－x2| ＝· ＝·＝. ∴5b2－4＝16. ∴b2＝4，即b＝2. ∴a＝2b＝4. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 中点弦问题 已知椭圆＋y2＝1，求过点P且被P平分的弦所在直线的方程． [自主解答]　法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－＝k， 即y＝kx＋－k. 由 得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0， 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1＋x2＝－＝1， 解得k＝－. ∴直线方程为2x＋4y－3＝0. 法二：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由题意知，所求直线的斜率存在，设为k， 则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1. 由得y－y＝－(x－x)， ∴＝－·＝－， 即k＝－， ∴直线方程为y－＝－， 即2x＋4y－3＝0. 解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－. 3．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为. (1)求C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1， ∴b＝4. 又e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5. ∴C的方程为＋＝1. (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)， 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0，则x1＋x2＝3， ∴AB的中点坐标＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中点坐标为. 解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试 已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋m，若椭圆上总有两点P，Q关于直线l对称，求m的取值范围． [妙解]　法一：(根与系数的关系)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上关于直线l：y＝4x＋m对称的两个点，则kPQ＝－. 设PQ所在直线方程为y＝－＋b. 由消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0. ∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)>0. 解得b2<.① x1＋x2＝，x1x2＝. 设PQ中点为M(x，y)，则有 x＝＝，y＝－·＋b＝. ∵点M在直线y＝4x＋m上， ∴＝4·＋m.∴b＝－m.② 把②代入①，得：2<， 解得－<m<. 故m的取值范围为. 法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两点， M(x，y)是PQ的中点． 则有两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ∵x1≠x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y， ∴＝－＝－kPQ. ∵kPQ＝－， ∴y＝3x. 由解得 ∴M(－m，－3m)． ∵点M应在椭圆C的内部， ∴＋<1. 解得－<m<. 故m的取值范围为. [点评]　P，Q关于直线l对称包括两层含义：①P，Q的中点在直线l上；②直线PQ与直线l垂直． 1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1 得＋(3－x)2＝1， 即5x2－24x＋32＝0. ∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0， ∴直线与椭圆相离． 答案：C 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 解析：把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±. 答案：C 3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞) 解析：∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点， 若5＞m，则≥1， 若5＜m，则必有公共点， ∴m≥1且m≠5. 答案：D 4．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 解析：由＋＝1得－2≤y≤2， ∴－2<a<2. 答案：(－2,2) 5．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________. 解析：由得交点坐标(0,1)，， 则|AB|＝ ＝. 答案： 6．过点P(2,1)的直线l与椭圆＋y2＝1相交，求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 解：设直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M(x，y)，则 由①－②得＝－·＝－·. 又∵直线l的斜率为kPM＝， ∴＝－. 整理得x2＋2y2－2x－2y＝0. ∴直线l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为 x2＋2y2－2x－2y＝0. 一、选择题 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相切　　　　　　　　 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B. 答案：B 2．已知椭圆x2＋＝a2(a＞0)与以A(2,1)，B(4,3)为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 解析：分两种情况：(1)A点在椭圆外，4＋＞a2，解得0＜a＜；(2)B点在椭圆内，16＋＜a2，解得a＞. 答案：B 3．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，则·＝(　　) A．－3 B．－ C．－或－3 D．± 解析：椭圆右焦点为(1,0)， 设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴·＝x1x2＋y1y2. 把y＝x－1代入＋y2＝1得，3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B. ∴·＝－. 答案：B 4．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　) A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0 C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵点A，B在椭圆上， ∴＋x＝1，① ＋x＝1.② ①－②，得＋(x1＋x2)·(x1－x2)＝0.③ ∵P是线段AB的中点， ∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1， 代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9. 故直线AB的方程为y－＝－9， 整理得9x＋y－5＝0. 答案：B 二、填空题 5．已知点A，B是椭圆＋＝1(m>0，n>0)上两点，且＝λ，则λ＝________. 解析：由＝λ知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1. 答案：－1 6．若直线y＝x＋m与椭圆4x2＋y2＝1有公共点，则实数m的取值范围为________． 解析：由得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤. 答案： 7．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 解析：由 消去y并化简得x2＋2x－6＝0. 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6. ∴弦长|MN|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝. 答案： 8．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，以F1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P，若PF2恰好与圆F1相切，则该椭圆的离心率为________． 解析：由已知圆F1的半径r＝c，即|PF1|＝c， 又PF2与圆F1相切，所以PF2⊥PF1， ∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝c. ∴|PF1|＋|PF2|＝(1＋)c＝2a. ∴e＝＝＝－1. 答案：－1 三、解答题 9．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 10．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点． (1)求实数b的取值范围； (2)当b＝1时，求|AB|. 解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1， 消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.① 因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点， 所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0， 解得－<b<. 所以b的取值范围为(－，)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0. 解得x1＝0，x2＝－. 相应地y1＝1，y2＝－. 所以|AB|＝＝. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！