13.2.1　平面的基本性质.docx

13.2　基本图形位置关系 13.2.1　平面的基本性质 必备知识基础练 1.若一直线a在平面α内,则正确的作图是(　　) 答案A 解析B中直线a不应超出平面α;C中直线a不在平面α内;D中直线a与平面α相交. 2.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是(　　) A.A,B,C,D四点中必有三点共线 B.A,B,C,D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行 答案B 解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面. 3.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列结论正确的是(　　) A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB C.若l⊄α,A∈l,则A∉α D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合 答案ABD 解析选项A,若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α,由平面的基本性质的基本事实2,可得A正确;选项B,α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB,由平面的基本性质的基本事实3,可得B正确;选项C,若l⊄α,A∈l,则A∈α或A∉α,可得C不正确;选项D,若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本性质的基本事实1,可得D正确. 4.如图所示的图形可用符号表示为　　　　.  答案α∩β=AB 5.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　.  答案共线 解析如 图,∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD. ∵l∩α=O,∴O∈α. 又O∈AB⊂β,∴O∈直线CD, ∴O,C,D三点共线. 6. 已知:A∈l,B∈l,C∈l,D∉l,如图所示.求证:直线AD,BD,CD共面. 证明因为D∉l,所以l与D可以确定一个平面,设为α,因为A∈l,所以A∈α,又D∈α,所以AD⊂α.同理,BD⊂α,CD⊂α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面. 7. 如图四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.求证:E,F,G,H四点必定共线. 证明∵AB∥CD,∴AB,CD确定一个平面,设为β, ∵AB∩α=E,∴E∈AB,E∈α,∴E∈β,∴E在α与β的交线上. 同理,F,G,H也在α与β的交线上,∴E,F,G,H四点必定共线. 关键能力提升练 8.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若EF与HG交于点M,则(　　) A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上 C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上 D.M不在直线AC上,也不在直线BD上 答案A 解析由题意得EF在平面ABC内,HG在平面ACD内,EF与HG交于点M,所以点M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上. 9.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.P∈c B.P∉c C.c∩a=⌀ D.c∩β=⌀ 答案A 解析如图,∵a∩b=P,∴P∈a,P∈b.∵α∩β=a,β∩γ=b,∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,∴P∈c. 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 答案D 解析如 图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB的延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.延长PQ交CD的延长线于N,连接NG交DD1于F,连接QF.故截面PQFGRE为六边形.故选D. 11.(多选)下列说法正确的是(　　) A.平面是处处平的面 B.平面是无限延展的 C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm 答案AB 解析平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,AB两种说法是正确的;CD两种说法是错误的. 12.(多选)下列说法不正确的是(　　) A.三点可以确定一个平面 B.空间中两条直线能确定一个平面 C.共点的三条直线确定一个平面 D.圆和平行四边形都可以表示一个平面 答案ABC 解析不共线的三点确定一个平面,故A错误;只有两条平行或相交的直线才能确定一个平面,故B错误;当三条直线相交于一点时,可以确定三个平面,故C错误;圆和平行四边形是平面图形,可以用来表示平面,故D正确. 13. (多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　) A.C1,M,O三点共线 B.C1,M,O,C四点共面 C.C1,O,A,M四点共面 D.D1,D,O,M四点共面 答案ABC 解析在题图中,连接A1C1,AC(图略),则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.∴三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,∴A,B,C均正确,D不正确. 14.(多选)(2021湖南衡阳二模)用一个平面去截正方体,所得截面不可能是(　　) A.直角三角形 B.直角梯形 C.正五边形 D.正六边形 答案ABC 解析如图所示,当截面为三角形时,可能出现正三角形,但不可能出现直角三角形;当截面为四边形时,可能出现矩形、平行四边形、等腰梯形,但不可能出现直角梯形;当截面为五边形时,不可能出现正五边形;当截面为六边形时,可能出现正六边形.故选ABC. 15.A,B,C为空间三点,经过这三点的平面有　　　　个;三条平行直线最多能确定的平面的个数为　　　　.  答案1或无数　3 解析当A,B,C不共线时,有一个平面经过这三点;当A,B,C共线时,有无数个平面经过这三点. 当三条平行直线在一个平面内时,可以确定1个平面;当三条平行直线不在同一平面上时,可以确定3个平面.因此,最多可确定3个平面. 16.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　.  答案4,6,7或8 解析若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分; 若三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成6部分; 若三个平面交于一线,则可将空间分成6部分; 若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成7部分; 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成8部分.故n的所有可能值为4,6,7或8. 17.已知:四条直线a,b,c,l,且a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面. 证明如图, ∵a∥b, ∴a与b确定一个平面,设为α. ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α. 又A∈l,B∈l,∴l⊂α. ∵b∥c,∴b与c确定一个平面,设为β,同理可知l⊂β. ∵平面α与β都包含l和b,且b∩l=B, 由推论知:经过两条相交直线有且只有一个平面, ∴平面α与平面β重合,∴a,b,c和l共面. 18. 如图,已知在空间四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且BGGC=DHHC=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点. 证明∵ E,F分别是AB,AD的中点, ∴EF∥BD,且EF=12BD. 又BGGC=DHHC=2, ∴GH∥BD,且GH=13BD, ∴EF∥GH,且EF>GH, ∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P, ∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD, ∴P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD=AC, ∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点. 学科素养创新练 19.如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形. 求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点. 证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB, 所以AA',BB'在同一平面A'B内. 设直线AA',BB'相交于点P,如图所示. 同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内. 因为P∈AA',AA'⊂平面A'C,所以P∈平面A'C.同理点P∈平面BC',所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上,而平面A'C∩平面BC'=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点. 20.在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出交线l; (2)设l∩A1B1=P,求PB1的长; (3)求点D1到l的距离. 解(1)如图,延长DM交D1A1的延长线于点Q,则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN,则直线QN就是两平面的交线l. (2)∵M是AA1的中点,MA1∥DD1,∴A1是QD1的中点. 又A1P∥D1N,∴A1P=12D1N. ∵N是D1C1的中点,∴A1P=14D1C1=a4, ∴PB1=A1B1-A1P=34a. (3)如图,过点D1作D1H⊥PN于点H,则D1H的长就是点D1到l的距离. ∵QD1=2A1D1=2a,D1N=a2, ∴D1H=D1Q·D1NQN=2a·a24a2+a24=21717a, 即点D1到l的距离是21717a. 7