2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第5章 5.4 复数的几何表示 Word版含解析数学备课大师【全免费】.doc

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！ 5．4复数的几何表示 [读教材·填要点] 1．复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面． x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点P(a，b)； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量＝(a，b)． 3．复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫作复数z的模，记作|z|，且 |z|＝. 4．共轭复数 (1)定义及记忆：对于任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，将复数a－bi称为原来的复数z的共轭复数，记作：. (2)性质：①＝z； ②复平面上两点P，Q关于x轴对称⇔它们所代表的复数相互共轭． 5．复数加减法的几何意义 如图：设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OPSQ为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与z1－z2对应的向量是. [小问题·大思维] 1．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？ 提示：向量的起点在原点． 2．若复数(a－1)＋ai(a∈R)在复平面内对应的点P在第二象限，则a的取值范围是什么？ 提示：由题意知即0<a<1.所以a的取值范围是(0,1)． 3．若z1与z2互为共轭复数，那么|z1|与|z2|之间有什么关系？ 提示：设z1＝a＋bi，则z2＝a－bi，故|z1|＝|z2|. 4．什么数的共轭复数是它本身？ 提示：实数的共扼复数是它本身． 5．从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？ 提示：表示P1与P2两点间的距离． 复数几何意义的应用 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． [自主解答]　(1)点Z在复平面的第二象限内， 则解得a＜－3. (2)点Z在x轴上方，则 即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. 探究复数z对应复平面内的点的位置 如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则 (1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限． (2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上． (3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内． 1．在复平面内，O是原点，若向量对应的复数z的实部为3，且||＝3，如果点A关于原点的对称点为点B，求向量对应的复数． 解：根据题意设复数z＝3＋bi， 由复数与复平面内的点、向量的对应关系得＝(3，b)， 已知||＝3，即＝3， 解得b＝0，故z＝3，点A的坐标为(3,0)． 因此，点A关于原点的对称点为B(－3,0)， 所以向量对应的复数为z′＝－3. 复数模的求法 (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝(　　) A．1＋2i　　　　　　　　 　B．－1－2i C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i (2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) [自主解答]　(1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝得 ＝， 解得a＝±1， 故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝ ，|z2|＝＝， 所以＜，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1. [答案]　(1)D　(2)B 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 2．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2|＜|z1|，求实数a的取值范围． 解：由条件可知z1－z2＝(4－a)＋2i. 又|z1－z2|＜|z1|， 即 ＜， 解得1＜a＜7. 所以实数a的取值范围是(1,7)． 共轭复数的应用 设z∈C，为z的共轭复数，若z·＋iz＝，求z. [自主解答]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)． ∵＝3－i，∴(a＋bi)(a－bi)＋i(a＋bi)＝3－i. ∴ 解得或 ∴z＝－1－i或z＝－1＋2i. 保持例题条件不变，求的值． 解：当z＝－1－i时，＝－1＋i， ∴＝＝＝＝－i； 当z＝－1＋2i时，＝－1－2i， ∴＝＝ ＝＝－＋i. ∴＝－i或＝－＋i. 此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi；代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解． 3．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则＝a－bi，(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 则有 解得或 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 复数加减运算的几何意义 已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求点C，D对应的复数． [自主解答]　∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i， ∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又＝＋， ∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵＝， ∴向量对应的复数为3－i， 即＝(3，－1)． 设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)， ∴解得 ∴点D对应的复数为5. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)． 4．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点． (1)求对应的复数； (2)求对应的复数． 解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形， 所以＝＋，于是＝－， 而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i， 即对应的复数是－2＋2i. (2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 所以对应的复数是5. 已知z0＝x＋yi(x，y∈R)，z＝(x＋3)＋(y－2)i，且|z0|＝2，求复数z对应的点的轨迹． [巧思]　设出复数z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数相等寻找出a，b与x，y之间的关系，然后利用|z0|＝2这一条件求出a，b的等量关系． [妙解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则即 又∵z0＝x＋yi(x，y∈R)且|z0|＝2，∴x2＋y2＝4. ∴(a－3)2＋(b＋2)2＝4. ∴复数z对应的点的轨迹是以(3，－2) 为圆心，2为半径的圆． 1．(北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　　　　　 　B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以解得a＜－1. 答案：B 2．(山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝(　　) A．1或－1 B.或－ C．－ D. 解析：法一：由题意可知＝a－i， ∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4， 故a＝1或－1. 法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1. 答案：A 3．设z∈C，|z|≤2，则点z表示的图形是(　　) A．直线x＝2的右半平面 B．半径为2的圆面 C．直线x＝2的左半平面 D．半径为2的圆 解析：由复数模的几何意义知：点z到原点的距离小于或等于2，点z的集合为以原点为圆心，以2为半径的圆面． 答案：B 4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________． 解析：∵复数z在复平面内对应的点在第四象限， ∴解得x>3. 答案：(3，＋∞) 5．复数z＝sin－icos，则|z|＝________. 解析：∵z＝－i， ∴|z|＝ ＝. 答案： 6．在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C，求平行四边形ABCD的D点所对应的复数． 解：法一：由已知A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)， 则AC的中点E， 由平行四边形的性质知E也是BD的中点， 设D(x，y)，则∴ 即D(3,3)， ∴D点对应的复数为3＋3i. 法二：由已知：＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)． ∴＝(－1,1)，＝(3,2)． ∴＝＋＝(2,3)． ∴＝＋＝(3,3)． 即点D对应的复数为3＋3i. 一、选择题 1.若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　) A．E　　　　　　　　　　 　B．F C．G D．H 解析：由题图可得z＝3＋i， 所以＝＝＝＝2－i， 则其在复平面上对应的点为H(2，－1)． 答案：D 2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,5) 解析：|z|＝，∵0＜a＜2， ∴1＜a2＋1＜5， ∴|z|∈(1，)． 答案：B 3．设复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　) A．－＋i B.－i C．－－i D.＋i 解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则x＋yi＋＝2＋i. ∴ 解得∴z＝＋i. 法二：∵|z|∈R，由复数相等的充要条件可知： 若等式z＋|z|＝2＋i成立，则必有虚部为1， 故可设z＝x＋i(x∈R)，代入原等式有： x＋＝2， 解得x＝，所以z＝＋i. 答案：D 4．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵x＋y＋(x－y)i＝3－i， ∴解得 ∴复数1＋2i所对应的点在第一象限． 答案：A 二、填空题 5．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________． 解析：由表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9. 答案：9 6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________． 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i， ∴解得或 ∴|z|＝＝. 答案： 7．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z|＝＝， ∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z|∈(0,2)． 答案：(0,2) 8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y的值是________． 解析：由题意可得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)， ∴由＝x＋y，得 (3，－2)＝(－x,2x)＋(y，－y) ＝(－x＋y,2x－y)． ∴ ∴ ∴x＋y＝5. 答案：5 三、解答题 9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x轴上方；(5)对应点在直线x＋y＋5＝0上． 解：(1)由m2－2m－15＝0， 得m＝5或m＝－3. 即当m＝5或m＝－3时，z为实数． (2)由m2－2m－15≠0， 得m≠5且m≠－3， 即当m≠5且m≠－3时，z为虚数． (3)由得m＝－2， 即当m＝－2时，z为纯虚数． (4)由m2－2m－15>0， 得m<－3或m>5. 即当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方． (5)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0， 得m＝或m＝. 即当m＝或m＝时，z的对应点在直线x＋y＋5＝0上． 10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤.试问复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积． 解：∵|z|＝且1≤|z|≤， ∴1≤x2＋y2≤2. 又|w|＝＝， ∴≤|w|≤2. 令w＝m＋ni(m，n∈R)， 则≤ ≤2， 即2≤m2＋n2≤4. 故w对应点的集合是以原点为圆心，半径为和2的圆环内点的集合(含内外圆周)， 其面积S＝π[22－()2]＝2π. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！