5.5.2　简单的三角恒等变换.docx

5.5.2　简单的三角恒等变换 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.cos2π8-14的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2-14 B.2+14 C.24 D.22 答案B 解析cos2π8-14=1+cosπ42-14=2+14. 2.已知α为第一象限角,且tan α=43,则sin α2的值为(　　) A.55 B.-55 C.±55 D.15 答案C 解析因为α为第一象限角,且tan α=43,所以cos α=35,而α2是第一或第三象限角.当α2是第一象限角时,sin α2=1-cosα2=55;当α2是第三象限角时,sin α2=-1-cosα2=-55,故sin α2=±55. 3.在△ABC中,若cos A=13,则sin2B+C2+cos 2A=(　　) A.-19 B.19 C.-13 D.13 答案A 解析sin2B+C2+cos 2A=1-cos(B+C)2+2cos2A-1=1+cosA2+2cos2A-1=-19. 4.已知f(x)=sin x+3cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ=　　　　　.  答案π6 解析因为f(x)=sin x+3cos x=212sinx+32cosx=2sinx+π3,又因为f(θ)=2, 所以2sinθ+π3=2,解得θ=π6. 5.若tan α=17,则1+cos2αsin2α=　　　　　.  答案7 解析因为tan α=sin2α1+cos2α=17,所以1+cos2αsin2α=7. 6.证明:2sinxcosx(sinx+cosx-1)(sinx-cosx+1)=1+cosxsinx. 证明左边= 2sinxcosx(2sin x2cos x2-2sin2x2)(2sin x2cos x2+2sin2x2) =2sinxcosx4sin2x2(cos2x2-sin2x2)=sinx2sin2x2 =cos x2sin x2=2cos2x22sin x2cos x2=1+cosxsinx=右边. 所以原等式成立. 等级考提升练 7.若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,则fπ12=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.6-22 B.-3 C.1 D.2 答案D 解析∵f(x)=1+3·sinxcosxcos x =cos x+3sin x=2sinx+π6, ∴fπ12=2sinπ12+π6=2sinπ4=2. 8.若3π<x<4π,则1+cosx2+1-cosx2=(　　) A.2cosπ4-x2 B.-2cosπ4-x2 C.2sinπ4-x2 D.-2sinπ4-x2 答案C 解析因为3π<x<4π, 所以3π2<x2<2π,sinx2<0,cosx2>0. 于是1+cosx2+1-cosx2=cosx2+sinx2=cosx2-sinx2=222cosx2-22sinx2=2sinπ4-x2. 9.在△ABC中,若sin Asin B=cos2C2,则下列等式中一定成立的是(　　) A.A=B B.A=C C.B=C D.A=B=C 答案A 解析∵sin Asin B=cos2C2 =1+cosC2=12-12cos(A+B) =12-12(cos Acos B-sin Asin B), ∴12cos Acos B+12sin Asin B=12. ∴cos(A-B)=1. ∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π, ∴A-B=0,∴A=B. 10.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为(　　) A.34 B.35 C.12 D.45 答案B 解析设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cos α=725.又β=π2-α2,即cos β=cosπ2-α2=sinα2=1-cosα2=1-7252=35. 11.(多选题)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是(　　) A.∃x∈R,sin2x2+cos2x2=12 B.∃x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y C.∀x∈[0,π],1-cos2x2=sin x D.sin x=cos y,则x+y=π2 答案BC 解析因为sin2x2+cos2x2=1≠12,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sin x-sin y,所以B为真命题;因为1-cos2x2=1-(1-2sin2x)2=|sin x|=sin x,x∈[0,π],所以C为真命题;当x=π2,y=2π时,sin x=cos y,但x+y≠π2,所以D为假命题. 12.(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sin x+cos x构成“互为生成函数”的有(　　) A.f1(x)=2sin x+2 B.f2(x)=2(sin x+cos x) C.f3(x)=sin x D.f4(x)=2cosx2sinx2+cosx2 答案AD 解析f(x)=sin x+cos x=2sinx+π4,∵f1(x)=2sin x+2,∴将f1(x)图象向下平移2个单位长度,再向左平移π4个单位长度即可与f(x)图象重合;f2(x)=2(sin x+cos x)=2×2sinx+π4=2sinx+π4,f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;C.f3(x)=sin x,f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;f4(x)=2cosx2sinx2+cosx2=2cosx2sinx2+2cos2x2=sin x+cos x+1=2sinx+π4+1,将f4(x)图象向下平移1个单位长度,与f(x)图象重合.故A,D中的函数与f(x)“互为生成函数”. 13.已知sinx+π3=-33,则cos x+cosx-π3=　　　　.  答案-1 解析因为sinx+π3=-33, 所以cos x+cosx-π3=cos x+12cos x+32sin x =32cos x+32sin x=332cos x+12sin x =3sinx+π3=-1. 14.已知cosx-π6=m,则cos x+cosx-π3=　　　.  答案3m 解析因为cos x+cosx-π3=cos x+cos xcos π3+sin xsin π3=32cos x+32sin x=3cosx-π6,所以cos x+cosx-π3=3m. 15.已知sin α=1213,sin(α+β)=45,α,β均为锐角,求cos β2的值. 解∵0<α<π2,∴cos α=1-sin2α=513, ∵0<α<π2,0<β<π2,∴0<α+β<π, 若0<α+β<π2, ∵sin(α+β)<sin α,∴α+β<α, ∴β<0,与已知矛盾, ∴π2<α+β<π,∴cos(α+β)=-35, ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-35×513+45×1213=3365. ∵0<β<π2,∴0<β2<π4, ∴cos β2=1+cosβ2=76565. 新情境创新练 16.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32. 证明由已知,得sin A+sin B=-sin C,① cos A+cos B=-cos C.② 和差化积,得2sinA+B2cosA-B2=-sin C.③ 2cosA+B2cosA-B2=-cos C.④ ∵当cosA-B2=0时,sin C=cos C=0,不满足题意,∴cosA-B2≠0. ③÷④,得tanA+B2=tan C. ∴cos(A+B)=1-tan2A+B21+tan2A+B2=1-tan2C1+tan2C=cos 2C. ①2+②2,得2+2cos(A-B)=1, 即cos(A-B)=-12, ∴cos2A+cos2B+cos2C =12(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C) =32+12[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C] =32+122cos2C·-12+cos2C=32. 6