湘教版高中地数学选修4-1-1.4圆周角定理-教案.docx

圆周角定理 【教学目标】 1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用； 2．继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力； 3．渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法。 【教学重难点】 重点：圆周角的概念和圆周角定理 难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。 【教学过程】 （一）圆周角的概念 1．什么叫圆周角？ 2．圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ （二）探究1 问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C？观察得到的∠ACB有什么特征？ 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角。 观察：如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？ 分别量一下所对的圆周角∠ACB．∠ADB和∠AEB的度数比较一下，再改变圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？ 再量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？ 猜想： 同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。 验证： 为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明： （1）圆心在圆周角的一边上； （2）圆心在圆周角的内部； （3）圆心在圆周角的外部 我们先来证第（1）种情况： 证明：∵ OB=OP ∴∠P=∠B ∵∠AOB是△OBP的外角 ∴∠P=0.5∠AOB 我们再来证明第（2）情况： 连结PO并延长交⊙于C 由（1）可知： ∠APC=0.5∠AOC ∠BPC=0.5∠BOC ∴ ∠APC+∠BPC=0.5(∠AOC+∠BOC) 即∠APB=0.5∠AOB 最后我们来证明第（3）种情况： 连结PO并延长交⊙O于C 由（1）可知： ∠APC=0.5∠AOC ∠BPC=0.5∠BOC ∴ ∠BPC-∠APC=0.5(∠BOC-∠AOC ) 即∠APB=0.5∠AOB 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半。 （三）探究2 我们知道，一个周角是360°，把圆周等分成360°，每一份叫做1°的弧。由此，n°的圆心角所对的弧是n°的弧；反之，n°的弧所对的圆心角的度数是n°，从而有： 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，因此，由圆周角定理可以直接得： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 （四）小结 1．圆周角的定义； 2．圆周角定理及证明； 3．圆心角定理； 4．圆周角定理及推论的运用。