第一章　2.4　圆与圆的位置关系.docx

第一章直线与圆 §2　圆与圆的方程 2.4　圆与圆的位置关系 课后篇巩固提升 合格考达标练 1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 答案B 解析由题意可知圆O1的圆心O1(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心O2(0,2),半径r1=2,又r2-r1<O1O2=5<r1+r2,所以圆O1和圆O2的位置关系是相交,故选B. 2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案C 解析由题意,得两圆的标准方程分别为(x-2)2+(y+1)2=4和(x+2)2+(y-2)2=9,则两圆的圆心距d=(2+2)2+(-1-2)2=5=2+3,即两圆外切,所以两圆有3条公切线.故选C. 3.(2020山西师大附中高二期中)圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 答案A 解析圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1,0),圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心为N(-1,2),两圆的公共弦AB的垂直平分线即为直线MN,其方程为y-02-0=x-1-1-1,即x+y-1=0,故选A. 4.若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于(　　) A.4 B.42 C.8 D.82 答案C 解析∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2, 即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32, ∴|C1C2|=(a-b)2+(a-b)2=32×2=8. 5.已知两圆相交于两点A(a,3),B(-1,1),若两圆圆心都在直线x+y+b=0上,则a+b的值是　　　　.  答案-1 解析由A(a,3),B(-1,1),设AB的中点为Ma-12,2,根据题意,可得a-12+2+b=0,且kAB=3-1a+1=1,解得a=1,b=-2,故a+b=-1. 6.半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,则此圆的方程为　　　　　　　　　.  答案(x-6)2+(y±4)2=36 解析设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=36,因为该圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,所以|a|=6,(a-3)2+b2=5,解得a=6,b=±4,即该圆的标准方程为(x-6)2+(y±4)2=36. 7.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4,则两圆公共弦所在直线方程为　　　　,公共弦的长度为　　　　.  答案x=1　23 解析 由圆C1:x2+y2-4=0,圆C2:x2+y2-4x=0, 两个方程作差,可得x=1.将x=1代入x2+y2=4,可解得y=±3,则公共弦的长度为|y1-y2|=23. 8.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且AB=22,求圆O2的方程. 解设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2, 因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4, 将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r2-8=0, 作O1H⊥AB,H为垂足,则AH=12AB=2, 所以O1H=22-AH2=4-2=2. 由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+r2-8=0的距离为|r2-12|42=2,得r2=4或r2=20, 故圆O2的方程为 (x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. 等级考提升练 9.两圆x2+y2=r2(r>0),(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则正实数r的值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.10 B.102 C.5 D.5 答案B 解析两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,即(3-0)2+(-1-0)2=2r,解得r=102,故选B. 10.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是(　　) A.x2+y2-154x-12=0 B.x2+y2-154x+12=0 C.x2+y2+154x-12=0 D.x2+y2+154x+12=0 答案A 解析设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,再把点M(2,-2)代入,可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,解得λ=13,故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0. 11.(2020安徽无为中学高二月考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 答案B 解析由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以|m-1|≤5≤m+1,即4≤m≤6,所以m的最大值是6,故选B. 12.圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦长的最大值是(　　) A.12 B.1 C.32 D.2 答案D 解析由x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0,得(x+a)2+(y+a)2=1,圆心C1(-a,-a),半径r1=1; 由x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0,得(x+b)2+(y+b)2=2,圆心C2(-b,-b),半径r2=2,即两圆圆心在直线y=x上,半径分别为1和2, ∴两圆公共弦长的最大值为小圆的直径,即最大值为2. 13.(多选题)(2020山东枣庄高二月考)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有(　　) A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2 C.x1+x2=a D.y1+y2=2b 答案ABC 解析由题意,由圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0, 两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2, 分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2, 两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0, 所以选项AB正确;由圆的性质可得,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C正确,选项D不正确.故选ABC. 14.若点P在圆x2+y2=1上,点Q在圆(x+3)2+(y-4)2=4上,则|PQ|的最小值为　　　　.  答案2 解析由题意可知,圆x2+y2=1的圆心坐标为A(0,0),半径r=1,圆(x+3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为B(-3,4),半径R=2.∵d=|AB|=32+42=5>1+2=R+r,∴两圆的位置关系是外离.又点P在圆A上,点Q在圆B上,则|PQ|的最小值为d-(R+r)=5-(1+2)=2. 15.(2020浙江温州高二期末)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为　　　　,若点A(x0,y0)在圆C1上,则x02+y02-4x0的最大值为　　　　.  答案4　5 解析(1)由于两圆外切,所以(4-0)2+(3-0)2=r+1,∴r=4. (2)点A(x0,y0)在圆C1上,所以x02+y02=1,且-1≤x0≤1, 所以x02+y02-4x0=1-4x0.因为-1≤x0≤1,所以x02+y02-4x0的最大值为5.此时x0=-1. 16.(2020山东泰安一中高二月考)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=4与圆C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q两点. (1)求线段PQ的长; (2)记圆O与x轴正半轴交于点M,点N在圆C上滑动,求△MNC面积最大时的直线NM的方程. 解(1)圆C的一般方程为x2+y2-6x-2y+2=0, 由圆O与圆C方程相减可知,相交弦PQ的方程为3x+y-3=0.点(0,0)到直线PQ的距离d=310=31010, PQ=24-(31010) 2=3105. (2)∵MC=2,|NC|=22, ∴S△MNC=12|MC||NC|sin∠MCN=2sin∠MCN. 当∠MCN=90°时,S△MNC取得最大值. 此时MC⊥NC,又kCM=1,则直线NC的方程为y=-x+4. 由y=-x+4,(x-3)2+(y-1)2=8,得N(1,3)或N(5,-1). 当点N为(1,3)时,kMN=-3,此时MN的方程为3x+y-6=0. 当点N为(5,-1)时,kMN=-13,此时MN的方程为x+3y-2=0. ∴MN的方程为3x+y-6=0或x+3y-2=0. 新情境创新练 17.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切. (1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径; (2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由. 解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=|a-2a+1|12+12=|a-1|2,两圆的圆心距为(a-1)2+(2a-2)2=5|a-1|=10r, 因为两圆外切,所以10r=r+9,∴r=10+1. (2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2), ①若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=|a-1|2,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线, ②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1), 则d=|ka-2a+2-k|1+k2=r=|a-1|2对任意的a都成立,|(k-2)(a-1)|1+k2=|a-1|2,|k-2|1+k2=12, 两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,当k=1时,直线与l1重合, 当k=7时,直线方程为7x-y-5=0, 故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0. 5