课时21833_5.1.1变化率问题-5.1.1变化率问题（教学设计）【公众号悦过学习分享】(2).doc

5.1.1 变化率问题 坪山高级中学 李思念 一、教学目标 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 二、教学重难点 1、教学重点 瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 三、教学过程 1、新课导入 在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题. 2、探索新知 一、平均速度 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 例如，在这段时间里，； 在这段时间里，. 一般地，在这段时间里，. 思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 运动员在这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 二、瞬时速度 1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.求运动员在s时刻的瞬时速度 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 为了求运动员在时的瞬时速度，在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当时，在1之后；当时，在1之前. 当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. 当时，在时间段内 当时，在时间段内 …… …… 思考：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于. 事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为. 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度. 因此，运动员在s时的瞬时速度. 三、割线与切线的斜率 问题2 抛物线的切线的斜率 1.割线与切线的定义 为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况. 当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 2.割线与切线的斜率 （1）割线的斜率 抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是. 于是，割线的斜率. （2）切线的斜率 我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格. …… …… 当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2. 事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2. 我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为. 从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率. 3、 课堂总结 1、 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。 2、 瞬时速度的求法。 3、 曲线割线与切线斜率的概念及其关系。 4、 曲线切线斜率的求法。 5、 平均速度与割线斜率、瞬时速度与切线斜率的关系。 4、 课后练习 教材第61页思考（2）、练习1，2 教材第62页练习3 教材第64页练习1,2