第2章 第6节 指数与指数函数.doc

　指数与指数函数 [考试要求]　 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会作底数为2,3,10，，的指数函数的图象. 3.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式 (1)n次方根的概念． ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质． ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念． ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R. 提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 4．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 1．指数函数图象的画法 作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象从上到下，底数逐渐变小． 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)函数y＝ax2＋1 (a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(多选)下列运算正确的是(　　) A.＝π－3 B．e2x＝(ex)2 C.＝a－b D．＝· ABC　[对于A，因为＝|3－π|＝π－3，所以A正确； 对于B，因为e2x＝(ex)2，成立，所以B正确； 对于C，因为＝a－b，成立，所以C正确； 对于D，当a＜0且b＜0时，和无意义，所以D错误． 故选ABC.] 2．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝_______. 　[由题意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.] 3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________． c＜b＜a　[∵y＝x是减函数， ∴＞＞0， 则a＞b＞1， 又c＝＜0＝1， ∴c＜b＜a.] 4．某种产品的产量原来是a件，在今后m年，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为________． y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)　[当x＝1时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)， 当x＝2时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2， 当x＝3时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3， …… 当x＝m时，y＝a(1＋p%)m， 因此y随年数x变化的函数解析式为y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)．] 考点一　指数幂的化简与求值 　指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 1．计算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________. －　[原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.] 2．化简 (a＞0，b＞0)＝________. 3．已知ab＝－5，则a＋b＝________. 0　[由ab＝－5知a与b异号， ∴a＋b＝a＋b＝＋＝0.] 点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如＝4. 考点二　指数函数的图象及其应用 　指数函数图象问题的求解策略 变换 作图 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解 数形 结合 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 [典例1]　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________． (1)D　(2)(0,1)　[(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D. (2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．] [母题变迁] 1．若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________． (0，＋∞)　[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m的取值范围是(0，＋∞)． 　] 2．若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________． (－∞，－1]　[作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示． 由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．] 点评：注意区分函数y＝3|x|与y＝|3x| y＝3|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，y＝|3x|不是偶函数，其图象都在x轴上方，在这里y＝|3x|＝3x. 1．已知函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　) A．y＝ B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) A　[易知A(1,1)．经验证可得y＝的图象不经过点A(1,1)，故选A.] 2．已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，考虑下列五个关系式： ①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b. 其中不可能成立的关系式有________(填序号)． ③④　[作出y＝2 019x及y＝2 020x的图象如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 019a＝2 020b，而③④不可能成立．] 考点三　指数函数的性质及其应用 　比较指数式的大小 　比较幂值大小的三种类型及处理方法 [典例2－1]　(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 (1)A　(2)B　[(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c，故选A. (2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数． 又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.] 点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识． 　解简单的指数方程或不等式 　指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据． ①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)． ②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)； 当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)． (2)解指数方程或不等式的方法． 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解． [典例2－2]　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． (2)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________． (1)　(2)(－3,1)　[(1)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为. (2)若a＜0，则f(a)＜1⇔a－7＜1⇔a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0； 若a≥0，则f(a)＜1⇔＜1，解得a＜1，故0≤a＜1. 综合可得－3＜a＜1.] 　与指数函数有关的复合函数的单调性、值域 　1.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关： (1)若a＞1，函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y＝af(x)的单调递增(减)区间； (2)若0＜a＜1，函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y＝af(x)的单调递减(增)区间．即“同增异减”． 2．与指数函数有关的复合函数的值域 形如y＝af(x)的函数的值域，可先求f(x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af(x)的值域． [典例2－3]　已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在 (－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使f(x)的值域为(0，＋∞)， 应使y＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0(因为若a≠0，则y＝ax2－4x＋3为二次函数，其值域不可能为R)． 故a的值为0. 点评：形如y＝af(x)(a＞0)的函数的定义域就是函数y＝f(x)的定义域． 1．若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B． C. D．[2，＋∞) B　[2 x2＋1≤x－2⇔2 x2＋1≤24－2x⇔x2＋1≤4－2x， 解得－3≤x≤1，∴2－3≤2x≤2，即≤y≤2，故选B.] 2．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，则f(a)，f(b)的大小关系是________． f(a)＞f(b)　[a＝＝，则＞，即a＞b， 又函数f(x)＝2x－2－x是R上的增函数． ∴f(a)＞f(b)．] 3．函数y＝x2＋2x－1的值域是________． (0,4]　[设t＝x2＋2x－1，则y＝t. 因为0＜＜1，所以y＝t为关于t的减函数． 因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝t≤－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．] 4．函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________． 　[令t＝x，由x∈[－3,2]得t∈， y＝t2－t＋1＝2＋， 当t＝时，ymin＝，当t＝8时，ymax＝57，故所求值域为.] 考点四　指数型函数的综合应用 　指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题． [典例3]　已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)求函数f(x)的值域； (3)当x∈[1,2]时，2＋mf(x)－2x≥0恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－，得a＝2. (注：本题也可由f(0)＝0解得a＝2，但要进行验证) (2)由(1)可得f(x)＝＝＝1－， ∴函数f(x)在R上单调递增． 又2x＋1＞1，∴－2＜－＜0， ∴－1＜1－＜1. ∴函数f(x)的值域为(－1,1)． (3)当x∈[1,2]时，f(x)＝＞0. 由题意得mf(x)＝m·≥2x－2在x∈[1,2]时恒成立， ∴m≥在x∈[1,2]时恒成立． 令t＝2x－1,1≤t≤3， 则有m≥＝t－＋1. ∵当1≤t≤3时，函数y＝t－＋1为增函数， ∴max＝.∴m≥. 故实数m的取值范围为. 点评：在指数型函数的综合应用中，把ax看作一个整体，即令t＝ax是常用的思维意识． 已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)． (1)求f(x)的定义域和值域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性． [解]　(1)由ax＋1＞1知，f(x)的定义域为R， f(x)＝＝1－， 由ax＋1＞1得0＜＜2， ∴－1＜f(x)＜1，即函数f(x)的值域为(－1,1)． (2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (3)f(x)＝＝1－. 设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为x1＜x2， 所以当a＞1时，ax2＞ax1＞0， 从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为R上的增函数； 当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0， 从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)为R上的减函数． 12