6.4.3　第2课时　正弦定理.docx

第六章平面向量及其应用 6.4　平面向量的应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第2课时　正弦定理 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.46 B.45 C.43 D.223 答案A 解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°, ∴A=180°-B-C=45°. 由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=8sin60°sin45°=46.故选A. 2.(2021江苏玄武校级月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=π4,a=2,b=1,则B=(　　) A.π3或2π3 B.π3 C.π6 D.π6或5π6 答案C 解析因为A=π4,a=2,b=1, 由正弦定理得asinA=bsinB,即222=1sinB, 所以sin B=12. 因为a>b,所以A>B. 因为B为三角形内角,所以B=π6. 故选C. 3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　) A.35 B.±35 C.-35 D.±25 答案B 解析由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cos∠ABC=±35. 4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=34,则ca的值为(　　) A.2 B.12 C.32 D.1 答案C 解析由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cos A=2×34=32. 5.(2021福建福州期中)在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则此三角形(　　) A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定 答案B 解析在△ABC中,a=43,b=12,A=π6,则bsin A=12×12=6,可得bsin A<a<b,可得此三角形有两解.故选B. 6.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案B 解析由已知,得asinA=b=bsinB,所以sin B=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形. 7.在△ABC中,B=45°,C =60°,c=1,则最短边的长等于　　　.  答案63 解析由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=csinC,得b=csinBsinC=1×2232=63. 8.在△ABC中,ab=60,S△ABC=153,△ABC的外接圆半径为3,则边c的长为　　　　.  答案3 解析∵S△ABC=12absin C=153,ab=60,∴sin C=32.由正弦定理,得csinC=2R,则c=2Rsin C=3. 9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=37a. (1)求sin C的值; (2)当a=7时,求△ABC的面积. 解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sin C=csinAa=37×32=3314. (2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面积S=12bcsin A=12×8×3×32=63. 关键能力提升练 10.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则B等于(　　) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 答案C 解析∵sin B=bsinAa=42×3243=22, ∴B=45°或135°.又∵a>b,∴B=45°,故选C. 11.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+csinA+sinB+sinC等于(　　) A.833 B.2393 C.2633 D.23 答案B 解析由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=asinA=13sin60°=2393. 12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为(　　) A.233 B.253 C.263 D.283 答案B 解析由3acos C=4csin A,得asinA=4c3cosC.又由正弦定理asinA=csinC,得csinC=4c3cosC,∴tan C=34, ∴sin C=35. 又S=12bcsin A=10,b=4,∴csin A=5. 根据正弦定理,得a=csinAsinC=535=253,故选B. 13.(2021福建福州期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且a2=bc,则basinA的值为　　　　.  答案233 解析因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以(a+b)2-c2=3ab,整理得a2+b2-c2=ab, 故cos C=a2+b2-c22ab=12. 由于0<C<π,故C=π3. a2=bc,由正弦定理可得sin2A=sin Bsin C. 故basinA=sinBsin2A=sinBsinBsinC=1sinC=1sinπ3=233. 14.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状. 解由已知,得a2·sinBcosB=b2·sinAcosA.又由正弦定理,得sin2 A·sinBcosB=sin2 B·sinAcosA,即sinAcosB=sinBcosA, 所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形. 15.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值. 解由正弦定理,得a2-c2=(2a-b)b, 即a2+b2-c2=2ab. 由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=2ab2ab=22. ∵C∈(0,π),∴C=π4. ∴S=12absin C=12×2Rsin A·2Rsin B·22 =2R2sin Asin B =2R2sinA22cosA+22sinA =R2(sin Acos A+sin2A) =R212sin2A+1-cos2A2 =R222sin2A-π4+12. ∵A∈0,34π.∴2A-π4∈-π4,54π, ∴sin2A-π4∈-22,1, ∴S∈0,2+12R2, ∴△ABC面积的最大值为2+12R2. 16.(2021山东日照模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若2asin A=(2sin B+sin C)b+(2sin C+sin B)c.求: (1)A的大小; (2)sin B+sin C的最大值. 解(1)因为2asin A=(2sin B+sin C)b+(2sin C+sin B)c, 所以由正弦定理可得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc, 由余弦定理的推论可得cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12. 因为A∈(0,π),所以A=2π3. (2)由(1)可得sin B+sin C=sin B+sinπ3-B=32cos B+12sin B=sinπ3+B, 故当B=π6时,sin B+sin C取得最大值1. 学科素养创新练 17.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍. (1)求sinBsinC; (2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长. 解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD, S△ADC=12AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12. (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以BD=2DC=2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知, AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 5