4.2.1　指数爆炸和指数衰减　4.2.2　指数函数的图象与性质.docx

第4章幂函数、指数函数和对数函数 4.2　指数函数 4.2.1　指数爆炸和指数衰减　4.2.2　指数函数的图象与性质 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.若函数f(x)=(m2-m-1)ax(a>0,且a≠1)是指数函数,则实数m的值为(　　) A.2 B.1 C.3 D.2或-1 答案D 解析由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D. 2.(2021河南新乡高一期中)已知a=40.1,b=0.40.5,c=0.40.8,则a,b,c的大小关系正确的是(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 答案C 解析因为40.1>40=1,而0<0.40.8<0.40.5<0.40=1,即a>1,0<c<b<1,所以a>b>c.故选C. 3.(2021北京房山高一期末)如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则(　　) A.b<-1 B.-1<b<0 C.0<b<1 D.b>1 答案B 解析函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则0<f(0)<1,即0<b+1<1,解得-1<b<0.故选B. 4.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是(　　) 答案C 解析当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B,D不正确;当0<a<1时,y=ax是减函数,y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项C正确. 5.已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象不经过第　　　　象限.  答案三 解析0<a<1,指数函数y=ax单调递减,-1<b<0,将函数y=ax的图象向下平移|b|个单位长度,得到y=ax+b的图象,可知图象不过第三象限. 6.(2021陕西西安高一期中)已知0<a<b<1,则aa,ab,ba从大到小的顺序是　　　　　.  答案ba>aa>ab 解析先比较aa,ab,由于0<a<b<1,函数y=ax为减函数,故aa>ab,再比较aa,ba,由于0<a<b<1,函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,故ba>aa.综上ba>aa>ab. 7.设函数f(x)=1210-ax,其中a为常数,且f(3)=116,则a的值为　　　　;若f(x)≥4,则x的取值范围为　　　　　　　.  答案2　[6,+∞) 解析函数f(x)=1210-ax,由f(3)=116,得1210-3a=116,得10-3a=4,解得a=2, 故f(x)=22x-10. 由f(x)≥4,得22x-10≥22,故2x-10≥2,解得x≥6. 8.(2021陕西咸阳四校高一期中)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值为M,最小值为N. (1)若M+N=6,求实数a的值; (2)若M=2N,求实数a的值. 解①当a>1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)的最大值为M=f(2)=a2,最小值N=f(1)=a; ②当0<a<1时,f(x)在[1,2]上单调递减, 则f(x)的最大值为M=f(1)=a,最小值N=f(2)=a2. (1)∵M+N=6,∴a2+a=6, 解得a=2,或a=-3(舍去). (2)∵M=2N,∴当a>1时,a2=2a,解得a=2,或a=0(舍去);当0<a<1时,2a2=a,解得a=12,或a=0(舍去).综上所述,a=2或a=12. 关键能力提升练 9.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点(　　) A.-2,14 B.-1,12 C.(1,2) D.3,18 答案D 解析设f(x)=ax,a>0且a≠1. ∵f(-1)=1a=2,解得a=12, 即f(x)=12x. ∵f(-2)=12-2=4,f(-1)=12-1=2,f(1)=12,f(3)=123=18.故D正确. 10.(2021安徽黄山高一期末)若2 020a=2 021b>1,则(　　) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 答案A 解析在同一坐标系内分别作出y=2 020x以及y=2 021x的图象,因为2 020a=2 021b>1,所以0<b<a. 11.(2021北京通州高一期末)函数f(x)=ax,x≤0,3a-x,x>0(a>0,且a≠1)在R上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C.13,1 D.0,13 答案D 解析因为函数f(x)=ax,x≤0,3a-x,x>0(a>0,且a≠1)在R上单调递减,所以0<a<1,a0≥3a-0,解得0<a≤13,即实数a的取值范围是0,13.故选D. 12.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案C 解析画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示. 由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,即M的最小值为4,故选C. 13.(多选题)(2020山东临沂高一期末)如图,某湖泊中蓝藻的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系满足y=at,则下列说法正确的是(　　) A.蓝藻面积每个月的增长率为100% B.蓝藻每个月增加的面积都相等 C.第6个月时,蓝藻面积就会超过60 m2 D.若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则一定有t1+t2=t3 答案ACD 解析由图可知,函数y=at图象经过(1,2),即a1=2,则a=2,∴y=2t. ∴2t+1-2t=2t不是常数,则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍,且每个月的增长率为100%,故A对,B错; 当t=6时,y=26=64>60,故C对; 若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则2t1=2,2t2=3,2t3=6,则2t1·2t2=2×3,即2t1+t2=6,则t1+t2=t3,故D对. 14.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(单位:mg/mL)随时间x(单位:h)变化的规律近似满足解析式f(x)=5x-2,0≤x≤1,35·13x,x>1.规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL,据此可知,此驾驶员至少要过　　　　　h后才能开车.(精确到1 h)  答案4 解析当0≤x≤1时,125≤5x-2≤15,此时不宜开车; 当x>1时,由35·13x≤0.02,化简得3x≥30. 当x=3时,33=27;当x=4时,34=81. 故至少要过4 h后才能开车. 15.(2021四川阆中高一期中)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点2,19. (1)求a,并比较f(b2+b+1)与f34的大小; (2)求函数g(x)=ax2-2x-3的值域. 解(1)由已知得a2=19,解得a=13, 故f(x)=13x. ∵f(x)=13x在R上单调递减, 且b2+b+1=(b+12)2+34≥34, ∴f34≥f(b2+b+1). (2)令t=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, ∵y=13t在R上单调递减, ∴y=13t≤13-4=81. ∵y=13t>0,故g(x)的值域是(0,81]. 16.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值; (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围; (3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围. 解(1)因为函数f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以a2+b=0,a0+b=-2,解得a=3,b=-3. (2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),因为f(0)=1+b<0,即b<-1,所以b的取值范围为(-∞,-1). (3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示. 由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{m|m=0或m≥3}. 学科素养创新练 17.(多选题)(2021福建泉州实验中学高一期中)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案AC 解析因为函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f(x)在[-4,0)∪(0,4]上的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x-1的图象.因为f(2)=89,所以f(-2)=-f(2)=-89=3-2-1.又f(1)=2=31-1,即f(x)与y=3x-1交于-2,-89和(1,2)两点.由图象可得f(x)≥3x-1的解满足x≤-2或0<x≤1.又定义域为[-4,0)∪(0,4],所以x∈[-4,-2]∪(0,1].故选AC. 6