第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件.doc

　命题及其关系、充分条件与必要条件 [考试要求]　 1.理解命题的概念. 2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系． ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4. 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p⇒q p是q的充分条件， q是p的必要条件 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 pq，且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件 提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA， A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB， 弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论． 1．等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推． 2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．(　　) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．下列命题是真命题的是(　　) A．矩形的对角线相等 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若整数a是素数，则a是奇数 D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题 A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．] 2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　) A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2” C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2” C　[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.] 3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.] 4．命题“若α＝，则sin α＝”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”) 假　假　[若α＝，则sin α＝的逆命题为“若sin α＝，则α＝”是假命题；否命题为“若α≠，则sin α≠”是假命题．] 考点一　命题及其关系 　判断命题真假的两种方法 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　) A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0 D　[x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0，x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0，因此逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0，”故选D.] 2．给出命题：若a＞－3，则a＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 B　[原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B.] 3．下列命题为假命题的是(　　) A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题 C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题 D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题 D　[对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题． 对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题． 对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确． 对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D.] 点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可． 考点二　充分、必要条件的判定 　判断充分、必要条件的三种方法 [典例1]　(1)设p：x<3，q：－1<x<3，则q是p成立的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中是真命题的有(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件 C．“a＜5”是“a＜3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 (1)B　(2)A　(3)CD　[(1)p：x<3，q：－1<x<3，可得q⇒p，而p推不出q. 则q是p成立的充分不必要条件．故选B. (2)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A. (3)对于A，当a＝b时，ac＝bc成立，当ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A不是真命题．对于B，当a＝－1，b＝－2时，a＞b，a2＜b2，当a＝－2，b＝1时，a2＞b2，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故B不是真命题．对于C，当a＜3时，一定有a＜5成立，当a＜5时，a＜3不一定成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，C是真命题．对于D，易知“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故D是真命题．故选CD.] 点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例． 1．已知a，b都是实数，那么“3a＞3b”是“a3＞b3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[3a＞3b⇒a＞b⇒a3＞b3，反之a3＞b3⇒a＞b⇒3a＞3b，因此3a＞3b是a3＞b3的充要条件，故选C.] 2．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由＜得0＜x＜1，由x3＜1得x＜1， 因为0＜x＜1⇒x＜1，但x＜10＜x＜1， 所以“＜”是“x3＜1”的充分不必要条件，故选A.] 考点三　充分条件、必要条件的探求与应用 1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关) 先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 2．利用充要条件求参数的两个关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 　充分条件、必要条件的探求 [典例2－1]　不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞) C．x∈(0,1) D．x∈(1,3) B　[解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B.] 　利用充分、必要条件求参数的取值范围 [典例2－2]　已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________． [0,3]　[由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 又S为非空集合， 则 ∴0≤m≤3. 即所求m的取值范围是[0,3]．] [母题变迁] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围． [解]　由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则解得m≥9， 即所求m的取值范围是[9，＋∞)． 1．命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 C　[由题意知，a≥x2对x∈[1,3]恒成立，则a≥9. 因此a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C.] 2．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．a＋b＞0 B．a－b＞0 C．ab＞1 D．＞1 A　[a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，但a＋b＞0a＞0，b＞0. 因此a＋b＞0是a＞0，b＞0的一个必要不充分条件，故选A.] 3．设p：1＜x＜2；q：(x－a)(x－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． [2，＋∞)　[由题意知{x|1＜x＜2}{x|(x－a)(x－1)≤0}，则a＞1，即{x|1＜x＜2}{x|1≤x≤a}，从而a≥2.] 8