第1页共4页习题课（三）圆锥曲线与方程一、选择题1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A．2B．C．D．解析：选C由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝.2．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－C．x2＝y－D．x2＝2y－2解析：选A焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝，y＝，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.3．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为()A．±B．±或±C．±D．±解析：选B由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±.4.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A．B．C．D．解析：选D焦点F1(－，0)，F2(，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，|AF1|2＋|AF2|2＝12，所以可解得|AF2|－|AF1|＝2，故a＝，所以双曲线的离心率e＝＝，选D.5．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A．B．C．D．解析：选B由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，第2页共4页则解得所以P，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．若过点A(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与椭圆E：＋y2＝1都只有一个交点，且l1⊥l2，则h的值为()A．B．C．2D．解析：选A由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0.设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－x＋h，将l1：y＝kx＋h代入＋y2＝1得＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，由l1与椭圆E只有一个交点知Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，即1＋2k2＝h2.同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1＋＝h2，得＝k2，即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝.二、填空题7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的方程为________．解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的方程为－＝1.答案...
