习题课（三）圆锥曲线与方程.doc

第 6 页 共 6 页 习题课（三） 圆锥曲线与方程 一、选择题 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：选C　由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝. 2．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　) A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－ C．x2＝y－ D．x2＝2y－2 解析：选A　焦点为F(0,1)，设P(p，q)，则p2＝4q. 设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝，y＝， 即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)， 即x2＝2y－1. 3．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为(　　) A．± B．±或± C．± D．± 解析：选B　由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或±. 4.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A． B． C． D． 解析：选D　焦点F1(－，0)，F2(，0)， 在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4， |AF1|2＋|AF2|2＝12， 所以可解得|AF2|－|AF1|＝2， 故a＝，所以双曲线的离心率e＝＝，选D. 5．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　) A． B． C． D． 解析：选B　由F是双曲线－＝1的一个焦点， 知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3. 不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0， 则解得所以P， 所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝. 6．若过点A(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与椭圆E：＋y2＝1都只有一个交点，且l1⊥l2，则h的值为(　　) A． B． C．2 D． 解析：选A　由题意知l1，l2的斜率都存在且不为0. 设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－x＋h， 将l1：y＝kx＋h代入＋y2＝1得＋(kx＋h)2＝1， 即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0， 由l1与椭圆E只有一个交点知 Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0， 即1＋2k2＝h2. 同理，由l2与椭圆E只有一个交点知，1＋＝h2， 得＝k2，即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝. 二、填空题 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的方程为________． 解析：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4， 所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2， 所以b＝＝＝4， 则双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 8．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y＝x2上的点到直线AB的最短距离为________． 解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y＝x2上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝. 答案： 9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则·＝________. 解析：不妨设M(m，)(m>0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|＝|MF|＝，所以解得m＝，p＝2，所以＝，＝，所以·＝－2＝－. 答案：－ 三、解答题 10．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)直线x＝2与椭圆C交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆C上位于直线x＝2两侧的动点．若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值． 解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∵抛物线x2＝4y的焦点是(0，)， ∴b＝. 由＝，a2＝b2＋c2，得a＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y＝x＋t， 联立得x2＋2tx＋2t2－4＝0， 则x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4. 在＋＝1中，令x＝2， 得P(2,1)，Q(2，－1)． ∴四边形APBQ的面积 S＝S△APQ＋S△BPQ ＝|PQ|·|x2－x1| ＝×2×|x2－x1| ＝|x2－x1| ＝ ＝ ＝. ∴当t＝0时，Smax＝4. ∴四边形APBQ面积的最大值为4. 11．已知经过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C. (1)当直线l的斜率是时，＝，求抛物线G的方程； (2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围． 解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知得， 直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4. 由得2y2－(8＋p)y＋8＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝4， 又因为＝，所以y2＝y1或y1＝4y2. 由p＞0得，y1＝4，y2＝1，p＝2， 所以抛物线G的方程为x2＝4y. (2)由题意知l的斜率存在． 设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)， 由得x2－4kx－16k＝0.　 ① 所以x0＝＝2k， y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. 所以BC的垂直平分线的方程为 y－2k2－4k＝－(x－2k)， 所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2， 对于方程①由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. 所以b∈(2，＋∞)． 所以b的取值范围为(2，＋∞)．