课后限时集训34 平面向量的数量积与平面向量应用举例.doc

课后限时集训(三十四) 平面向量的数量积与平面向量应用举例 建议用时：40分钟 一、选择题 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ (　　) A．4　　　 　 B．3　　　 　 C．2　　 　　 D．0 B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.] 2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　) A． B．－ C． D．－ D　[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)， ∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)． ∵λa＋b与b垂直， ∴(λa＋b)·b＝0， ∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0， 即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.] 3．(多选)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则(　　) A．若a∥b，则x＝－2 B．若x＝1，则|b－a|＝ C．若x＝－1，则a与b的夹角为60° D．若a＋2b与a垂直，则x＝3 ABD　[由a∥b可得x＝－2，故A正确；若x＝1，则b＝(2,1)，|b－a|＝|(2,1)－(1，－1)|＝＝，故B正确；当x＝－1时，cos〈a，b〉＝＝＝≠，故C错误；a＋2b＝(5，－1＋2x)，由5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x＝3，故D正确．] 4．(2020·武汉模拟)已知向量|a|＝，向量a与b夹角为，且a·b＝－1，则|a－b|＝(　　) A． B．2 C． D．4 A　[由平面向量数量积的定义可知，a·b＝|a|·|b|·cos ＝·|b|·＝－1， ∴|b|＝1，∴|a－b|＝＝ ＝＝.故选A.] 5．若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 A　[∵(－)·(＋－2)＝0， ∴·[(－)＋(－)]＝·(＋)＝0. 设D为边BC的中点，则＋＝2，即·＝0. 由此可得在△ABC中，BC与BC边上的中线垂直， ∴△ABC为等腰三角形．故选A.] 6．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　) A．||2＝· B．||2＝· C．||2＝· D．||2＝ ABD　[因为·＝||||cos A＝||||，由射影定理可得||2＝·，选项A正确；因为·＝||||cos B＝||||，由射影定理可得 ||2＝·，选项B正确；由·＝||||cos (π－∠ACD)<0，||2>0，知选项C错误；由题图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以||||＝||||，结合选项A，B可得||2＝，选项D正确．故选ABD.] 二、填空题 7．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________. 　[由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.] 8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________． －　[∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝， ∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3， ∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.] 9．(2020·山东师范大学附属中学一模)已知向量a，b，|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________. 　6　[设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝，所以a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.] 三、解答题 10．已知向量a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)，0＜θ＜π. (1)若向量a∥b，求θ的值； (2)若向量a·b＝，求. [解]　(1)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)， ∴当a∥b时，1×cos θ＝(－1)×sin θ， 即cos θ＝－sin θ. ∵θ∈(0，π)，∴θ＝ . (2)∵a＝(1，－1)，b＝(sin θ，cos θ)， ∴当a·b＝时，1×sin θ＋(－1)×cos θ＝， 可得sin θ－cos θ＝⇒(sin θ－cos θ)2＝⇒1－2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝. ∴＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)× ＝sin θcos θ＝. 11．(2020·徐州模拟)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(sin x，sin x)，函数f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若α∈，f ＝，求sin α的值． [解]　∵向量m＝(cos x，sin x)，n＝(sin x，sin x)， ∴函数f(x)＝m·n＝sin xcos x＋sin2x ＝＋＝sin＋. (1)T＝＝π. (2)f ＝sin＋＝⇒sin＝， ∵α∈，∴－＜α－＜， ∴cos＝＝＝. ∴sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝. 1．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列说法正确的是 (　　) A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形 B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形 C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形 D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形 BCD　[在△ABC中，＝c，＝a，＝b. 若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；若a·b＝c·b，则b·(a－c)＝0，即·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即＝－cos A，由余弦定理可得cos A＝－cos A，即cos A＝0，即A＝，故△ABC为直角三角形，D正确．故选BCD.] 2．(2020·广州模拟)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝80 N，则G的大小为________，F2的大小为________． 160 N　80 N　[根据题意，F1＋F2＝－G，如图所示：∠CAO＝90°，∠AOC＝30° ，AC＝80， ∴OC＝160，OA＝80， ∴G的大小为160 N，F2的大小为80 N．] 3．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)求证：向量a＋b与a－b垂直； (2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数)． [解]　(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， ∴|a|＝＝1，同理|b|＝1. ∵(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0， 因此，向量a＋b与a－b垂直； (2)a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)， ∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2，则 k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2， 即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2，整理得 a·b＝cos(β－α)＝0， ∵0＜β＜α＜π，则0＜α＜π，0＜β＜π，所以，－π＜β－α＜0，∴β－α＝－. 1.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，＝2，则·的最小值为________． 5－2　[方法一：(几何法)设圆心为O，AB中点为D. 由题意得AB＝2×2×sin ＝2，所以AC＝3. 取AC中点M，连接PM，由题意得 两式平方后相减得·＝2－2＝2－. 要使·最小，就要使PM最小． 连接OM，OD(图略)，易知当圆弧AB的圆心与点P，M共线时，PM最小． 此时DM＝，所以OM＝＝，所以PM的最小值为2－， 代入求得·的最小值为5－2. 方法二：(坐标法)如图，设圆弧AB所在圆的圆心为O，则以O为坐标原点，过点O与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系． 连接OA，由已知得OA＝2，则A(－1，)，B(1，)，圆O的方程为x2＋y2＝4. 连接OC，由＝2得BC＝1，故C(2，)，所以OC＝. 设P(x，y)，则由题意可得－1≤x≤1. 易得＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)． 所以·＝(－1－x)(2－x)＋(－y)2 ＝x2＋y2－(x＋2y)＋1 ＝5－(x＋2y)． 不妨设θ∈， 则·＝5－(2cos θ＋2×2sin θ) ＝5－2(cos θ＋2sin θ) ＝5－2sin(θ＋φ). 因为sin(θ＋φ)的最大值为1， 所以·的最小值为5－2.] 2．已知O为△ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H. (1)若＝a，＝b，＝c，＝h，试用a，b，c表示h； (2)证明：⊥； (3)若△ABC的∠A＝60°，∠B＝45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|. [解]　(1) 由平行四边形法则可得：＝＋＝＋＋，即h＝a＋b＋c. (2)∵O是△ABC的外心，∴||＝||＝||，即|a|＝|b|＝|c|， 而＝－＝h－a＝b＋c，＝－＝c－b， ∴·＝(b＋c)·(c－b)＝|c|2－|b|2＝0， ∴⊥. (3)在△ABC中，O为△ABC的外心，∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠BOC＝120°，∠AOC＝90°， 于是∠AOB＝150°， |h|2＝|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a ＝3R2＋2|a|·|b|·cos 150°＋2|b|·|c|·cos 120°＋2|c|·|a|·cos 90° ＝(2－)R2， ∴|h|＝. 9