第2章 第10节 函数模型及其应用.doc

　函数模型及其应用 [考试要求]　 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 1．常见的7种函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； (4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)； (6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)； (7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)． 提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．三种函数模型的性质 函数 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2， 当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)不存在x0，使a＜x＜logax0.(　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度．(　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　) (5)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 二、教材习题衍生 1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如表所示： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D　[在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D.] 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　) (注：结余＝收入－支出) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 D　[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．] 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 18　[利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．] 4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价．则客运票价y(元)与行程数x(km)之间的函数关系式是________． y＝　[由题意可得y＝] 考点一　用函数图象刻画变化过程 　 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 1．(2020·新高考全国卷Ⅱ改编)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(　　) ①这11天复工指数和复产指数均逐日增加； ②这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量； ③第3天至第11天复工复产指数均超过80%； ④第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量． A．①③④ B．②③④ C．③④ D．①④ C　[对于①，由折线图知这11天的复工复产指数有增有减，故①错． 对于②，由第1天和第11天复工和复产指数位置可知，复产指数的增量小于复工指数的增量，故②错． 对于③，由折线图知，第3天至第11天复工、复产指数均超过80%，故③正确． 对于④，由折线图知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故④正确．] 2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5km B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80 km /h的速度行驶1h，消耗10L汽油 D．某城市机动车最高限速80 km /h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 D　[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．] 3．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)．不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　) 　　　 A　 　　B　　　 C　 　　D B　[设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)．画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.] 点评：明确横纵坐标所表示的量，正确理解所给的图象是解题的关键． 考点二　已知函数模型解决实际问题 　已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． [典例1]　(1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 (2)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2020年前三个月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费 1月份 4 m3 4元 2月份 25 m3 14元 3月份 35 m3 19元 若4月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　) A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元 (1)B　(2)A　[(1)∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38. 若则e0.38(t2－t1)＝2,0.38(t2－t1)＝ln 2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B. (2)根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故选A.] 1．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K(单位：万元)是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 2 500　[由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝－10Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500， 所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)．] 2．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 16　[当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.] 考点三　构建函数模型解决实际问题 　构建函数模型解决实际问题的步骤 　构建一次函数、二次函数模型 [典例2－1]　某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象． [解]　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－120， 令＝x，则x2＝6t，即t＝，所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40， 所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40， 即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨． (2)由(1)及题意得400＋10x2－120x＜80， 即x2－12x＋32＜0， 解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜. 因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象． 点评：二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错． 　构建指数函数、对数函数模型 [典例2－2]　(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 (2)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　) A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8% (1)C　(2)C　[(1)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n－1＞200， 即1.12n－1＞， 两边取常用对数得n－1＞， 解得n＞， 又n∈N*，∴n≥5，因此该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年，故选C. (2)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.] 　构建y＝x＋(a＞0)函数模型 [典例2－3]　某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． [解]　设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元． 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)． 从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥2＋357＝417， 当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 点评：利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件． 　构建分段函数模型 [典例2－4]　“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/米3)的函数．当x≤4时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x≥20时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/米3)可以达到最大？求出最大值． [解]　(1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2； 当4＜x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝ (2)设年生长量为f(x)千克/米3， 依题意并由(1)可得f(x)＝ 当0＜x≤4时， f(x)为增函数， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/米3时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/米3． 点评：求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小求出分段函数的最值． 1.(2020·南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________. 2　[由题意可得9＝·x，得BC＝－， ∴y＝＋≥2＝6，当且仅当＝(2≤x＜6)，即x＝2时等号成立．] 2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115， 令50x－115＞0，解得x＞2.3， ∵x为正整数，∴3≤x≤6，x∈N*. 当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈N*. ∴y＝ (2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)， 显然当x＝6时，ymax＝185； 对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6＜x≤20，x∈N*)，当x＝11时，ymax＝270. ∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． 12