课后限时集训(三十一)正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B[如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B.]2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.mB．mC.mD．mA[如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，又AB＝200m，∴AC＝m.在△ACD中，由正弦定理，得＝，即DC＝＝(m)．]3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．6海里B．6海里C．8海里D．8海里1A[由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°－65°＝45°，∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12，在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴BC＝6，故选A.]4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为()A.B．C.D．－C[因为cos2A＋cos2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cosC＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<4，c＝7，且满足(2a－b)cosC＝ccosB，则下列结论正确的是()A．C＝60°B．△ABC的面积为6C．b＝2D．△ABC为锐角三角形AB[ (2a－b)cosC＝ccosB，∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，∴2sinAcosC＝sinBcosC＋cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA． 在△ABC中，sinA≠0，∴cosC＝，∴C＝60°，A正确．由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝64＋b2－2×8bcos60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b<4，∴b＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝absinC＝×8×3×＝6，B正确．又cosA＝＝<0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．]6．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个结论中正确的是()A．若＝，则B＝B．若B＝，b＝2，a＝，则满足条件的三角形共有两个C．若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形D．若a＝5，c＝2，△ABC的面积为4，则c...
