1.1 集合概念及特征（教师版）.docx

1.1 集合的概念及特征（精讲） 思维导图 常见考法 考点一 集合的判断 【例1】（2020·浙江高一课时练习）下列四组对象中能构成集合的是（ ）. A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【解析】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：. 本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。 【一隅三反】 1．（2020·全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（ ） A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 【答案】C 【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C. 2．（2020·全国高一课时练习）下列对象能构成集合的是（ ） A．高一年级全体较胖的学生B．比较接近1的全体正数 C．全体很大的自然数D．平面内到三个顶点距离相等的所有点 【答案】D 【解析】因为A中“较胖”、B中“接近”、C中“很大”均没有明确的标准，所以不能构成集合.D中元素能够成集合.故选：D 【例2】（2020·全国高一课时练习）由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】∵，，故当时，这几个实数均为0； 当时，它们分别是； 当时，它们分别是. 最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选：A 本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.故选：C 2．（2020·全国高三其他（文））已知集合，则中元素的个数为（ ） A．1 B．5 C．6 D．无数个 【答案】C 【解析】由题得，所以A中元素的个数为6. 故选C 3．（2020·全国高一）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为 A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或3 【答案】B 【解析】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1. 考法二 集合的表示方法 【例2】（2020·全国高一）用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集. （1）到A、B两点距离相等的点的集合 （2）满足不等式的的集合 （3）全体偶数 （4）被5除余1的数 （5）20以内的质数 （6） （7）方程的解集 【答案】（1）集合点，无限集； （2）集合，无限集； （3）集合，无限集； （4）集合，无限集； （5）集合，有限集； （6）集合，有限集； （7）集合，有限集. 【解析】（1）因为到A、B两点距离相等的点满足，所以集合点，无限集. （2）由题意可知，集合，无限集. （3）因为偶数能被整除，所以集合，无限集. （4）由题意可知，集合，无限集. （5）因为20以内的质数有，，，，，，，. 所以集合，有限集. （6）因为，所以方程的解为，，，，，所以集合，有限集. （7）由题意可知，集合，有限集. 本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于小于12.8的整数的全体； （3）梯形的全体构成的集合； （4）所有能被3整除的数的集合； （5）方程的解组成的集合； （6）不等式的解集. 【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）；（3）是梯形；（4）；（5）；（6）. 【解析】（1）一年中有31天的月份的全体用列举法表示为{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}； （2）大于小于12.8的整数的全体用列举法表示为； （3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为是梯形； （4）所有能被3整除的数的集合用描述法表示为； （5）方程的解组成的集合用列举法表示为； （6）不等式的解集用描述法表示为. 2．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合： （1）方程组的解集； （2）方程的实数根组成的集合； （3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）. 【解析】（1）解方程组得 故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为. （2）方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，则可用描述法表示为. （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为. 考法三 集合中元素的意义 【例3】（2020·浙江高一课时练习）试说明下列集合各表示什么？ ；； ；；. 【答案】答案见解析 【解析】表示的取值集合，由知：，； 表示的取值集合，由知：或，或； 的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集； 的代表元素为，由知：， 表示直线上除了以外的点构成的点集； 表示以方程“”和“”为元素的一个二元集. 表示以方程“”和“”为元素的一个二元集. 本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。 【一隅三反】 1．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点 C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点 【答案】D 【解析】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D 2．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是( ) ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C. 考法四 元素与集合的关系 【例4】（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q. 【答案】 【解析】(1)N为自然数集，2是自然数，所以；(2)Q表示有理数，为无理数，所以；(3)Z为整数集，是分数，所以；(4)R表示实数集，所以；(5) N为自然数集，-3不是自然数，所以；(6) Q表示有理数，是有理数，所以. 本例题考查元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空： 0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R. 【答案】 【解析】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则；是有理数，则；是无理数，则 故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 2．（2019·浙江湖州高一期中）设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，所以选项A错误，，所以选项B正确，A,，所以选项C，D错误.故选：B 3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合，则与集合的关系是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，∴，故有，∴. 故选：B. 考法五 求参数 【例5】（2020·吴起高级中学高二月考（文））若，则a =（ ） A．2 B．1或－1 C．1 D．－1 【答案】D 【解析】当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；当时，，不满足互异性，舍去.故选：. 本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！ 【一隅三反】 1．（2020·上海高一课时练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】因为集合中至多有一个元素 所以方程至多有一个根， 当时解得，满足题意 当时，，解得综上：或 2．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合，且，则实数的值为________． 【答案】或0 【解析】若则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0. 3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或. 【解析】（1）由于中有两个元素， ∴关于的方程有两个不等的实数根， ∴，且，即，且. 故实数的取值范围是且. （2）当时，方程为，，集合； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时. 综上可知，实数的取值范围是或. 10