立体几何中的向量方法[考试要求]能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则名称a与b的夹角〈a，b〉l1与l2所成的角θ范围0＜〈a，b〉＜π0<θ≤关系cos〈a，b〉＝cosθ＝|cos〈a，b〉|＝2．直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.3．二面角(1)如图①，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()1(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材习题衍生1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°A[由于cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与α所成的角为30°.]2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．B．πC．或πD．或πC[ m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，∴m·n＝1，|m|＝1，|n|＝，∴cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.∴两平面所成的二面角为或π，故选C.]3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A．B．C．D．C[建立如图所示的坐标系，设AB＝2，则C1(，1,0)，A(0,0,2)，AC1＝(，1，－2)，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)．所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为＝＝.]考点一求异面直线所成的角用向量法求异面直线所成角的一般步骤2[典例1](2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．B．C．D．C[在平面ABC内过点B作AB的垂线，以B为原点，以该垂线，BA，BB1所在...
