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5.2.2　等差数列的前n项和 最新课程标准 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点) 4．会求等差数列前n项和的最值 [教材要点] 知识点一　数列的前n项和的概念 一般地，称________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝________________. 知识点二　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝________________ Sn＝________________ 　已知n，an，d能求a1吗？ [提示]　能，a1＝an＋(1－n)d，然后代入公式． 知识点三　等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为________项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最________值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为________项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最________值． 特别地，若a1>0，d>0，则________是{Sn}的最________值；若a1<0，d<0，则________是{Sn}的最大值． 　{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{|an|}的前n项和也是Sn吗？ [提示]　不一定． [基础自测] 　　　 1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　) A．10　 B．12 C．20 D．24 2．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝(　　) A．－ B．－ C. D. 3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．17 4．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________. 题型一　等差数列Sn中基本量的计算 例1　在等差数列{an}中． (1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d； (2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8； (3)已知a16＝3，求S31. 方法归纳 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． 跟踪训练1　在等差数列{an}中． (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d； (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 题型二　等差数列中的最值问题 　 1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？ [提示]　首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋＝n2＋n， 显然Sn是关于n的二次型函数． 如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，a1也适合此式，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列． 一般地，等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，若令A＝，B＝a1－，则上式可写成Sn＝An2＋Bn(A，B可以为0)． 2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图像． 你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？ [提示]　Sn＝n2－5n＝2－，它的图像是分布在函数y＝x2－5x的图像上的离散的点，由图像的开口方向可知该数列是递增数列，图像开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图像可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小． 例2　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2)问{an}的前多少项和最大； (3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′. 　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项． (2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解． (3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解． 方法归纳 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)． (2)借助二次函数的图像及性质求最值． 2．寻找正、负项分界点的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找． (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点． 3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－3n，求证：数列{an}是等差数列； (2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n的值． (3)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. ①该数列第几项开始为负； ②求数列{|an|}的前n项和． 题型三　等差数列前n项和性质的应用 例3　(1)已知等差数列{an}中，若a1 009＝1，求S2 017； (2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求. 　由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解． 方法归纳 等差数列的前n项和常用性质 1．若{an}是等差数列，则Sn＝·n＝na中(a中为a1与an的等差中项)． 2．若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 3．等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 4．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 跟踪训练3　(1)已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　) A．160　　　　　　　　　B．180 C．200 D．220 (2)一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________． (3)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17. 教材反思 1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq. 5．2.2　等差数列的前n项和 新知初探·自主学习 知识点一 a1＋a2＋…＋an－1＋an　a1＋a2＋…＋an－1＋an 知识点二 　na1＋d 知识点三 (1)负数　小　(2)正数　大　S1　小　S1 [基础自测] 1．解析：由S10＝＝120，得a1＋a10＝24. 答案：D 2．解析：S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，所以d＝－. 答案：A 3．解析：a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7. 答案：A 4．解析：因为a1＝1，d＝1， 所以Sn＝n＋×1 ＝＝＝. 答案： 课堂探究·素养提升 例1　解析：(1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d， ∴ 解方程组得 (2)∵a6＝10，S5＝5，∴ 解方程组得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S8＝＝44. (3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93. 跟踪训练1　解析：(1)由题意，得Sn＝＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－. (2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. (3)由 得 解方程组得或 例2　解析：(1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝33－1＝32满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)法一：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝. 距离最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的 图像可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． (3)由(2)知，当n≤17时，an≥0； 当n≥18时，an<0. 所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故Sn′＝ 跟踪训练2　解析：(1)证明：a1＝S1＝1－3＝－2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4， 当n＝1时，2n－4＝－2＝a1， ∴an＝2n－4. ∵an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等差数列． (2)由Sn＝35n－2n2＝－22＋. 当且仅当n＝9时，Sn最大，故n＝9. (3)设等差数列{an}中，公差为d，由题意得 ∴ ①设第n项开始为负， an＝50－3(n－1)＝53－3n<0， ∴n>， ∴从第18项开始为负． ②|an|＝|53－3n| ＝ 当n≤17时，Sn′＝－n2＋n； 当n>17时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)， Sn′＝－＋2S17 ＝n2－n＋884， ∴Sn′＝ 例3　解析：(1)法一：∵a1 009＝a1＋1 008d＝1，∴S2 017＝2 017a1＋d＝2 017(a1＋1 008d)＝2 017. 法二：∵a1 009＝，∴S2 017＝×2 017＝2 017a1 009＝2 017. (2)法一：＝＝＝＝＝. 法二：∵＝＝， ∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12， ∴＝＝. 跟踪训练3　解析：(1)∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78， ∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18， ∴S20＝＝10×18＝180. (2)由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30， 又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10， ∴中间项a6＝5. 　解析：法一：∵a1＋a17＝a3＋a15，∴S17＝＝＝＝340. 法二：∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，∴a1＋8d＝20， ∴S17＝17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×20＝340. 法三：∵a3＋a15＝2a9＝40，∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340. 答案：(1)B　(2)5　(3)340