1第2课时向量数量积的坐标表示必备知识基础练1.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于()A.√5B.√10C.2√5D.10答案B解析由题意可得a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0,解得x=2.所以a+b=(x+1,-1)=(3,-1),即|a+b|=√10.2.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则三角形ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案A解析由题设知⃗AB=(8,-4),⃗AC=(2,4),⃗BC=(-6,8),所以⃗AB·⃗AC=2×8+(-4)×4=0,即⃗AB⊥⃗AC.所以∠BAC=90°,故三角形ABC是直角三角形.3.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于()A.√3B.2√3C.4D.12答案B解析 a=(2,0),|b|=1,∴|a|=2,a·b=2×1×cos60°=1.∴|a+2b|=√a2+4a·b+4b2=2√3.4.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点,若四边形OABC是平行四边形,则向量⃗OA与⃗OC的夹角为()A.π3B.π4C.π6D.π2答案B解析 四边形OABC是平行四边形,∴⃗OA=⃗CB,即(4,2)=(a-2,8-a),∴a=6.设向量⃗OA与⃗OC的夹角为θ, ⃗OA=(4,2),⃗OC=(2,6),∴cosθ=⃗OA·⃗OC|⃗OA||⃗OC|=4×2+2×6√42+22×√22+62=√22,2又θ∈(0,π),∴⃗OA与⃗OC的夹角为π4.5.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=.答案4解析 a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4.6.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则实数m=.答案-1解析由题意得ma-b=(m+1,-m),因为a⊥(ma-b),所以1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1.7.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数m=,|a+b|=.答案-2√10解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.所以a+b=(-1,3),所以|a+b|=√10.8.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求实数λ的值.解(1) c=4(1,2)+(2,-2)=(6,6),∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c)a=0a=0.(2) a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(1+2λ,2-2λ),(a+λb)⊥a,∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=52.9.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),(1)求证:AB⊥AD;(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值.(1)证明 A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴⃗AB=(1,1),⃗AD=(-3,3),∴⃗AB·⃗AD=1×(-3)+1×3=0,∴⃗AB⊥⃗AD,即AB⊥AD.(2)解 四边形ABCD为矩形,∴⃗AB=⃗DC.设点C的坐标为(x,y),则⃗AB=(1,1),⃗DC=(x+1,y-4),3∴{x+1=1,y-4=1,解得{x=0,y=5,∴点C坐标为(0,5).则⃗AC=(-2,4),⃗BD=(-4,2),∴⃗AC·⃗BD=8+8=16,|⃗AC|=2√5,|⃗BD|=2√5.设⃗AC与⃗BD的夹角为θ,则cosθ=⃗AC·⃗BD|⃗AC||⃗BD|=162√5×2√5=45,∴矩形的两条对角...
