9.3.2　第2课时　向量数量积的坐标表示.docx

第2课时　向量数量积的坐标表示 必备知识基础练 1.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于(　　) A.5　　　　　　　B.10 C.25 D.10 答案B 解析由题意可得a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0, 解得x=2. 所以a+b=(x+1,-1)=(3,-1), 即|a+b|=10. 2.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则三角形ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 答案A 解析由题设知AB=(8,-4),AC=(2,4),BC=(-6,8),所以AB·AC=2×8+(-4)×4=0,即AB⊥AC.所以∠BAC=90°,故三角形ABC是直角三角形. 3.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于(　　) A.3 B.23 C.4 D.12 答案B 解析∵a=(2,0),|b|=1, ∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1. ∴|a+2b|=a2+4a·b+4b2=23. 4.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点,若四边形OABC是平行四边形,则向量OA与OC的夹角为(　　) A.π3 B.π4 C.π6 D.π2 答案B 解析∵四边形OABC是平行四边形, ∴OA=CB,即(4,2)=(a-2,8-a),∴a=6. 设向量OA与OC的夹角为θ,∵OA=(4,2),OC=(2,6), ∴cos θ=OA·OC|OA||OC|=4×2+2×642+22×22+62=22, 又θ∈(0,π),∴OA与OC的夹角为π4. 5.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=　　　　　.  答案4 解析∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4. 6.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则实数m=　　　　　.  答案-1 解析由题意得ma-b=(m+1,-m), 因为a⊥(ma-b), 所以1×(m+1)+0×(-m)=0, 所以m=-1. 7.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数m=　　　　　,|a+b|=　　　　　.  答案-2　10 解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0, 即m+2=0,解得m=-2. 所以a+b=(-1,3), 所以|a+b|=10. 8.已知向量a=(1,2),b=(2,-2). (1)设c=4a+b,求(b·c)a; (2)若a+λb与a垂直,求实数λ的值. 解(1)∵c=4(1,2)+(2,-2)=(6,6), ∴b·c=2×6-2×6=0, ∴(b·c)a=0a=0. (2)∵a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(1+2λ,2-2λ), (a+λb)⊥a, ∴(1+2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=52. 9.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4), (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值. (1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴AB=(1,1),AD=(-3,3), ∴AB·AD=1×(-3)+1×3=0, ∴AB⊥AD,即AB⊥AD. (2)解∵四边形ABCD为矩形,∴AB=DC. 设点C的坐标为(x,y), 则AB=(1,1),DC=(x+1,y-4), ∴x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5,∴点C坐标为(0,5). 则AC=(-2,4),BD=(-4,2), ∴AC·BD=8+8=16,|AC|=25,|BD|=25. 设AC与BD的夹角为θ,则cos θ=AC·BD|AC||BD|=1625×25=45,∴矩形的两条对角线所成锐角的余弦值为45. 关键能力提升练 10.已知向量a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值为(　　) A.865 B.-865 C.1665 D.-1665 答案C 解析∵a=(4,3),∴2a=(8,6). 又2a+b=(3,18), ∴b=2a+b-2a=(-5,12). ∴a·b=-20+36=16. 又|a|=5,|b|=13,设a与b的夹角为θ, 则cos θ=a·b|a||b|=165×13=1665. 11.若向量AB=(3,-1),n=(2,1),且n·AC=7,则n·BC等于(　　) A.-2 B.2 C.-2或2 D.0 答案B 解析∵AB+BC=AC,∴BC=AC-AB. ∴n·BC=n·AC-n·AB=7-5=2. 12.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AE·AF的取值范围是(　　) A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8] 答案A 解析如图,A(0,0),E(23,1), 设F(x,2)(0≤x≤23), 所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23x+2, 设f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)为增函数, 则f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AE·AF的取值范围是[2,14]. 13.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角为(　　) A.-π4 B.π6 C.π4 D.3π4 答案C 解析∵a=(1,2),b=(1,-1),∴2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为θ, 则cos θ=3×0+932×3=22,又0≤θ≤π,∴θ=π4. 14.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是(　　) A.[0,1] B.[-1,1] C.[-3,3] D.[0,3] 答案C 解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=3,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos θ=3cos θ,∵cos θ∈[-1,1], ∴(a-b)·c的取值范围为[-3,3]. 15.已知O为坐标原点,向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上有一点P使得AP·BP有最小值,则点P的坐标是(　　) A.(-3,1) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 答案C 解析设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2), BP=(x-4,-1). AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1) =x2-6x+10=(x-3)2+1, 所以当x=3时,AP·BP有最小值1. 此时点P的坐标为(3,0). 16.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B)不共线,则p与q的夹角是(　　) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 答案A 解析因为△ABC是锐角三角形,所以A+B>π2, 即A>π2-B. 又因为函数y=sin x在-π2,π2上是增函数, 所以sin A>sinπ2-B=cos B, 所以p·q=sin A-cos B>0. 设p与q的夹角为θ,所以cos θ=p·q|p||q|>0, 又因为p与q不共线,所以p与q的夹角是锐角. 17.(多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是(　　) A.|a|=b2 B.a·b=0 C.|a+b|=(3,1) D.(a-b)⊥b 答案AD 解析|a|=b2=2,故A正确,B,C显然错误. a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0, 所以(a-b)⊥b.故D正确. 18.(多选)已知a=(1,1),b=(0,-2),且ka-b与a+b的夹角为120°,则实数k等于(　　) A.-1+3 B.-2 C.-1-3 D.1 答案AC 解析∵ka-b=(k,k+2), ∴|ka-b|=k2+(k+2)2. ∵a+b=(1,-1), ∴|a+b|=12+(-1)2=2, ∴(ka-b)·(a+b)=k-k-2=-2. 又ka-b与a+b的夹角为120°, ∴cos 120°=(ka-b)·(a+b)|ka-b||a+b|, 即-12=-22×k2+(k+2)2, 化简并整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1±3.故选AC. 19.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2).若c=a-(a·b)b,则|c|=　　　　　.  答案82 解析因为a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|=82+(-8)2=82. 20.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,则PC·PD=　　　　　.  答案-1 解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1, 所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2), 所以BA=(0,2),BC=(2,0), 因为BA+BC=2BP, 所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2), 故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=(1,-1), 所以PC·PD=0×1+1×(-1)=-1. 21.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为　　　　　.  答案(-2,1) 解析设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3). ∴x-2y=-4,y+2x=-3,∴x=-2,y=1. ∴q=(-2,1). 22.已知向量OA=(1,7),OB=(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y=12x上的一点,那么MA·MB的最小值是　　　　　.  答案-8 解析设Mx,12x, 则MA=1-x,7-12x,MB=5-x,1-12x, MA·MB=(1-x)(5-x)+7-12x1-12x =54(x-4)2-8. 所以当x=4时,MA·MB取得最小值-8. 23.(2020安徽合肥检测)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为　　　　　.  答案5 解析如图,以D为原点,DA,DC所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a, 则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则PA+3PB=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x), 所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)2≥5,当且仅当x=34a时,等号成立.故|PA+3PB|的最小值为5. 24.如图,在△ABC中,AB·AC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点. (1)求AD·CB的值; (2)判断AE·CB的值是否为一个常数,并说明理由. 解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A75,245, 此时AD=-75,-245,CB=(-10,0), 所以AD·CB=-75×(-10)+-245×0=14. (2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时AE=-75,y-245, 所以AE·CB=-75×(-10)+y-245×0=14,为常数,故AE·CB的值是一个常数. 25.已知向量a,b满足|a|=5,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b. (1)求向量a的坐标; (2)求向量a与b的夹角. 解(1)设a=(x,y),因为|a|=5,则x2+y2=5,① 又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b, 2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3), 所以2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0,② 由①②解得x=1,y=2或x=-2,y=1, 所以a=(1,2)或a=(-2,1). (2)设向量a与b的夹角为θ, 所以cos θ=a·b|a||b|=1×1+2×(-3)1+22×1+(-3)2=-22或cos θ=a·b|a||b|=-2×1+1×(-3)1+22×1+(-3)2=-22, 因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=3π4. 学科素养创新练 26.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R). (1)若α=π4,求当|m|取最小值时实数t的值. (2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为π4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由. 解(1)当α=π4时,b=22,22,a·b=322, ∴|m|=(a+tb)2=5+t2+2ta·b=t2+32t+5=t+3222+12,∴当t=-322时,|m|取得最小值. (2)存在.假设存在满足条件的实数t. 由条件得cosπ4=(a-b)·(a+tb)|a-b||a+tb|, ∵a⊥b,∴a·b=0,∴|a-b|=(a-b)2=6, |a+tb|=(a+tb)2=5+t2, (a-b)·(a+tb)=5-t,∴5-t6·5+t2=22. ∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=-5±352. ∴存在t=-5±352满足条件. 27.已知OA=(4,0),OB=(2,23),OC=(1-λ)OA+λOB(λ2≠λ,λ∈R). (1)求OA·OB及OA在OB上的投影向量; (2)证明A,B,C三点共线,且当AB=BC时,求λ的值; (3)求|OC|的最小值. (1)解OA·OB=8,设OA与OB的夹角为θ, 则cos θ=OA·OB|OA||OB|=84×4=12, 所以OA在OB上的投影向量为|OA|cos θOB|OB|=4×12×OB4=12OB. (2)证明AB=OB-OA=(-2,23),BC=OC-OB =(1-λ)OA-(1-λ)OB =(λ-1)OB-(λ-1)OA=(λ-1)AB, 又BC与AB有公共点B,λ2≠λ, 所以A,B,C三点共线. 当AB=BC时,λ-1=1,所以λ=2. (3)解|OC|2=(1-λ)2|OA|2+2λ(1-λ)OA·OB+λ2|OB|2=16λ2-16λ+16=16λ-122+12, 所以当λ=12时,|OC|取最小值23. 8