课后限时集训(四十四)空间向量的运算及应用建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)(2020·福建省晋江市南侨中学月考)已知向量a＝(1,1,0)，则与a共线的单位向量e＝()A.B．(0,1,0)C.D．(1,1,1)AC[由题意得，a＝λe，因而|a|＝|λe|＝|λ|，得λ＝±|a|.故e＝±，而|a|＝＝，所以e＝或e＝.故选AC.]2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－C．D．2D[ a⊥(a－λb)，∴a·(a－λb)＝0，即a2＝λa·b.又a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，∴a·b＝2＋2＋3＝7，|a|＝＝.∴14＝7λ，∴λ＝2.故选D.]3．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A．B．C．D．D[ a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，∴a·b＝x＋2＝3.∴x＝1.∴|a|＝，|b|＝.∴cos〈a，b〉＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.故选D.]4．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则()A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面B[由6OP＝OA＋2OB＋3OC，得OP－OA＝2(OB－OP)＋3(OC－OP)，1即AP＝2PB＋3PC，故AP，PB，PC共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.]5.如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝()A.(－a＋b＋c)B.(a＋b－c)C.(a－b＋c)D.(－a－b＋c)B[NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC＝(a＋b－c)．]6．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定C[ M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD＝AB·AD＋AC·AD＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]二、填空题7．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则2x＋y＋z＝________.1[ A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴AB＝(0,1，－1)，AC＝(－2,2,2)，AD＝(x－1，y－1，z＋2)． A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得AD＝λAB＋μAC，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴解得2x＋y＋z＝1.]8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为________．[如图建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，...
