2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.4 离散型随机变量及其分布 Word版含解析数学备课大师【全免费】.doc

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！ 8．2.4　离散型随机变量及其分布 [读教材·填要点] 1．随机变量 (1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． 2．离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 3．随机变量X的概率分布 如果随机变量X的取值是x1，x2，…，xn，则{X＝xi}是事件，用pi＝P(X＝i)表示事件{X＝xi}的概率，则pi＝P(X＝xi)，i＝1,2，…，n是离散型随机变量X的概率分布．当X的概率分布{pi}规律性不明显时， 可用下面的表格表示X的分布. X x1 x2 x3 … P p1 p2 p3 … 4.随机变量X的概率分布的性质 ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. [小问题·大思维] 1．任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字． 2．是不是所有试验的离散型随机变量？并举例说明． 提示：不是．如在东北森林中任取一棵树木的高度． 离散型随机变量 [例1]　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． (1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X； (2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X； (3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数． [解]　(1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出， 是离散型随机变量． (2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量． (3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量． 判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下： (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量； (2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量． 解：(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4. {X＝0}，表示抽出0件次品； {X＝1}，表示抽出1件次品； {X＝2}，表示抽出2件次品； {X＝3}，表示抽出3件次品； {X＝4}，表示抽出的全是次品． (2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3. {ξ＝0}，表示取出0个白球，3个黑球； {ξ＝1}，表示取出1个白球，2个黑球； {ξ＝2}，表示取出2个白球，1个黑球； {ξ＝3}，表示取出3个白球，0个黑球． 离散型随机变量X的概率分布 [例2]　袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设X表示取出3个球中的最大号码，求X的概率分布． [解]　根据题意，随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6. X＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P(X＝3)＝＝； X＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取． 所以，P(X＝4)＝＝； X＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取． 所以，P(X＝5)＝＝； X＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P＝(X＝6)＝＝. 所以，随机变量X的概率分布为： X 3 4 5 6 P 求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合的知识求出X取每个值时的概率，最后列出表格即可． 2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取1个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X表示所得分数，求X的概率分布列． 解：由题意知X的可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 故X的概率分布列为： X 0 1 2 P 离散型随机变量X的概率分布的性质应用 [例3]　设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4.求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P. [解]　∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4， (1)P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝. (2)P ＝P(X＝1或X＝2或X＝3) ＝1－P(X＝4)＝1－＝＝. 利用离散型随机变量概率分布的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布表即可得到它的概率，注意分布表中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率． 3．某离散型随机变量的概率分布列如下： X －4 －1 2 … 23 P k 3k 5k … ak (1)求常数a，k； (2)求概率P(X≤5)． 解：(1)因为随机变量X的取值及其概率的值都是按等差数列变化的，因此只要确定项数n就可以求出常数a. 所以n＝＋1＝＋1＝10， a＝1＋(10－1)(3－1)＝19. 即k＋3k＋5k＋…＋19k＝1，求得k＝0.01. (2)由加法公式，可以得到 P(X≤5)＝P(X＝－4)＋P(X＝－1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝k＋3k＋5k＋7k＝16k＝0.16. 解题高手 妙解题 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若以X表示笼内还剩下的果蝇的只数，求X的概率分布． [尝试]　 　 　 [巧思]　若以Ak表示事件“剩下k只果蝇”(k＝0,1，…，6)，则当Ak发生时，第(8－k)只飞出的蝇子是苍蝇，且在前(7－k)只飞出的蝇子中恰有1只是苍蝇，因此P(Ak)＝＝. [妙解]　设Ak表示事件“剩下k只果蝇”(k＝0,1,2，…，6)，则P(Ak)＝＝. ∴P(X＝0)＝P(A0)＝；P(X＝1)＝P(A1)＝； P(X＝2)＝P(A2)＝；P(X＝3)＝P(A3)＝； P(X＝4)＝P(A4)＝； P(X＝5)＝P(A5)＝；P(X＝6)＝P(A6)＝. 即X的概率分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球或一个黑球 解析：选B　A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C和D叙述的结果也是确定的，而且不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量． 2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是(　　) A．25　　　　　　　　　 B．10 C．9 D．5 解析：选C　第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10. 3．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a(11－2k)，k＝1,2,3,4,5，其中a为常数，则P＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　由a(9＋7＋5＋3＋1)＝1，可得a＝，所以P＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝，故选D. 4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为________． 解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 答案：0,1,2,3 5．随机变量X的概率分布列如图所示： X 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2 (1)x＝________； (2)P(X>3)＝________； (3)P(1<X≤4)＝________. 解析：(1)由X概率分布的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0； (2)P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45； (3)P(1<X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝0＋0.35＋0.1＝0.45. 答案：(1)0　(2)0.45　(3)0.45 6．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列． 解：(1)设“当天商店不进货”为事件A，“当天商品的销售量为0件”为事件B，“当天商品的销售量为1件”为事件C，则 P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (2)由题意，知X的可能取值为2,3. P(X＝2)＝P(C)＝＝， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－＝. 故X的分布列为 X 2 3 P 一、选择题 1．有下列四个命题： ①某立交桥一天经过的车辆X； ②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X； ③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间； ④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是(　　) A．①②　　　　　　　 B．①③ C．①④ D．①②④ 解析：选A　①②中变量X所有可能取值是可以一一列出，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量． 2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　) A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4 解析：选C　第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6. 3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为(　　) A．3 B．4 C．10 D．不确定 解析：选C　X的概率分布表为： X 1 2 3 … n P … P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3＝.∴n＝10. 4．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行调研，记女生入选的人数为X，则X的概率分布列为(　　) A. X 0 1 2 P B. X 1 2 3 P C. X 0 1 2 P D. X 0 1 2 P 解析：选A　X的所有可能取值为0,1,2，“X＝0”表示入选3人全是男生， 则P(X＝0)＝＝， “X＝1”表示入选3人中恰有1名女生， 则P(X＝1)＝＝， “X＝2”表示入选3人中有2名女生， 则P(X＝2)＝＝. 因此X的概率分布列为： X 0 1 2 P 二、填空题 5．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是________． 解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品 6．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________． 解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分． 答案：300,100，－100，－300 7．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________． 解析：设X的概率分布为： X x1 x2 x3 P a－d a a＋d 由随机变量概率分布的性质，有 解得－≤d≤. 答案： 8．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝ak(k＝1,2，…，n)，则常数a＝________. 解析：由分布列的性质可得， a(1＋2＋…＋n)＝1， 所以a＝. 答案： 三、解答题 9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X. 解：(1)X可取0,1,2. X＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2. (2)X可取3,4,5. X＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3； X＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4； X＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. 10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x，y的值； (2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X的分布列． 解:(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝， P(X＝3)＝＝. X的分布列为 X 1 1.5 2 2.5 3 P “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！