2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3．7 点到平面的距离 Word版含解析数学备课大师【公众号悦过学习】.doc

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！ 3．7点到平面的距离 [读教材·填要点] 1．点到平面的距离 (1)定义：从空间中一点P到平面α作垂线PD交平面α于D，则线段PD的长度d称为点P到平面α的距离． (2)求法：平面α的法向量n以及平面上任一点A，则在法向量n所在方向上的投影长度d就等于点P到平面α的距离，即d＝. 2．直线与平面的距离 设直线l平行于平面α，则l上所有的点到α的距离相等，称为l与α的距离，显然，只要在l上任取一点P，求出P到α的距离，就得到l与α的距离． 3．平面与平面的距离 设两个平面α与β平行，则β上所有的点到α的距离d相等，d称为两个平行平面α，β之间的距离．显然，只要在β上任取一点P，求出P到α的距离，就得到了这两个平面的距离． [小问题·大思维] 1．求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？ 提示：直线与平面平行，平面与平面平行． 2．点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？ 提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离． 求点到平面的距离 四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点． (1)求证：DE∥平面PFB； (2)求点E到平面PFB的距离． [自主解答]　(1)证明：以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)， E(0,1,1)． ＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)， ＝(0,1,1)， ∴＝＋， ∴∥平面PFB. 又∵DE⊄平面PFB， ∴DE∥平面PFB. (2)∵DE∥平面PFB， ∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离． 设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝2，得y＝－1，z＝1. ∴n＝(2，－1,1)，又∵＝(－1,0,0)， ∴点D到平面PFB的距离 d＝＝＝. ∴点E到平面PFB的距离为. 利用空间向量求点到平面的距离的四步骤 1．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2.求点M到平面AB1P的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B1(0,0,4)， P(0,4,0)，M(2,3,4) 设n＝(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n⊥，n⊥， ∵＝(－4,0,4)，＝(－4,4,0)， ∴ 因此可取n＝(1,1,1)，由于＝(2，－3，－4)， 所以点M到平面AB1P的距离为 d＝＝＝， 故M到平面AB1P的距离为. 求直线与平面、平面与平面的距离 棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求直线A1D1到平面EFGH的距离． [自主解答]　以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则E，F， G，D1(0,0,1)， ∴＝(－1,0,0)， ＝. 设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，且n·＝0， 即令z＝6，可得n＝(0，－1,6)． 又＝，∴d＝＝. (1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离． (2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解． 2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)， ＝(－1,0,0)． 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令z＝1，得y＝1，x＝－1， ∴n＝(－1,1,1)． ∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试 如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求直线BD与B1C的距离． [解]　法一：连接AC，交BD于点O，则O为AC，BD的中点，取CC1的中点M，连接BM交B1C于E，连接OM，AC1，则OM∥AC1，过E作EF∥OM交OB于F，则EF∥AC1， 又斜线AC1的射影为AC，BD⊥AC， ∴BD⊥AC1，∴EF⊥BD. 同理AC1⊥B1C，EF⊥B1C. ∴EF为BD与B1C的公垂线． ∵M为CC1的中点，∴△MEC∽△BEB1， ∴＝＝. ∵BM＝a，∴BE＝MB＝a， ∵EF∥OM，∴＝＝， 故BF＝OB＝a， ∴EF＝＝a. 法二：(转化为直线到平面的距离)BD∥平面B1D1C，B1C⊂平面B1D1C，故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离为h，由VB­B1D1C＝VD1­B1BC， 即·(a)2h＝·a2·a，解得h＝a. 法三：(转化为两平行平面间的距离)易证： 平面B1D1C∥平面A1BD，AC1⊥平面A1BD，用等体积法易证A到平面A1BD的距离为a.同理可知C1到平面B1D1C的距离为a，而AC1＝a，故两平面间的距离为a. 即BD与B1C的距离为a. 法四：(垂面法)如图，∵BD∥平面B1CD1，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥OO1， ∴B1D1⊥平面OO1C1C. ∵平面OO1C1C∩平面B1D1C＝O1C，O1∈B1D1，故O到平面D1B1C的距离为Rt△O1OC斜边上的高， h＝＝＝a. 法五：(极值法)如图，在B1C上取一点M，作ME⊥BC交BC于E，过E作EN⊥BD交BD于N，易知MN为BD与B1C的公垂线时，MN最小． 设BE＝x，则CE＝ME＝a－x，EN＝x， ∴MN＝ ＝ ＝ ， ∴当x＝a时，MNmin＝a. 1．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是(　　) A.　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：在平面ABC内作AH⊥BC，垂足为H，连接PH， 则PH即为点P到BC的距离． PH＝＝＝4. 答案：D 2．△ABC中，∠C＝90°，点P在△ABC所在平面外，PC＝17，点P到AC，BC的距离PE＝PF＝13，则点P到平面ABC的距离等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：点P在平面ABC内的射影在∠C的平分线上，易求d＝7. 答案：A 3．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段，AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影的比为3∶5，则α，β间的距离为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 解析：设α，β间距离为d，AB，CD在α内的射影长分别为3x,5x，由解得d＝. 答案：C 4.如图，在三棱锥A­BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD＝DC，AC＝a，∠ABC＝30°，则C点到平面ABD的距离是________． 解析：设C到平面ABD的距离为h，则由VC­ABD＝VA­BCD得，S△ABD·h＝S△BCD·AC， 即××BD·CD·AC＝×BD·AD·h， 解得h＝a. 答案：a 5.如图，等边三角形ABC的边长为4，D为BC中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B­AD­C′为60°，则折叠后点A到直线BC′的距离为________． 解析：取BC′中点E，连接AE，DE， 则AE⊥BC′，DE⊥BC′， ∵BD⊥AD，CD⊥AD， ∴BD⊥AD，C′D⊥AD， ∴∠BDC′即为二面角B­AD­C′的平面角， ∴△BDC′为正三角形， 即|AE|为A到BC′的距离， Rt△AEB中，|AE|＝＝. 答案： 6．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，求D到平面ABC的距离． 解：设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)， ∵n·＝0，n·＝0， ∴ 即⇒ 令z＝－2，则n＝(3,2，－2)． ∴cos〈n·〉＝， ∴点D到平面ABC的距离为 d＝||·|cos〈n·〉|＝＝. 一、选择题 1．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离之比是1∶2∶3，PO＝2，则点P到这三个平面的距离分别是(　　) A．2,4,6　　　　　　　　 B．4,8,12 C．3,6,9 D．5,10,15 解析：将P点到三个平面的距离k,2k,3k看作是一个长方体的长、宽、高，而PO为其对角线， 则PO2＝k2＋(2k)2＋(3k)2，解得k＝2， ∴P点到这三个面的距离分别是2,4,6. 答案：A 2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，设点C到平面ABC1D1的距离为d1，D到平面ACD1的距离为d2，BC到平面ADD1A1的距离为d3，则有(　　) A．d3<d1<d2 B．d1<d2<d3 C．d1<d3<d2 D．d2<d1<d3 解析：易求d1＝a，d2＝a，d3＝a. 答案：D 3．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l ，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　) A. B. C. D．1 解析：设点D到平面ABC的距离等于h. 依题意得，AC⊥β，AC⊥BC， BC＝＝，CD＝＝. 由VD­ABC＝VA­DBC得， S△ABC×h＝S△DBC×AC， ××h＝××1， 由此解得h＝，即点D到平面ABC的距离等于. 答案：C 4.如图，正方体的棱长为1，C，D，M分别为三条棱的中点，A，B是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是(　　) A. B. C. D. 解析：设点M到ABCD的距离为h，连接AC，AM， 作CF⊥AB，垂足为F，连接CM， 则VC­ABM＝VM­ABC， VC­ABM＝S△ABM×CM＝××1＝， 又VM­ABC＝××AB×CF×h＝××××h＝， 则由＝，得h＝. 答案：C 二、填空题 5．∠BAC在平面α内，PA是α的斜线，若∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，PA＝a，则点P到α的距离为________． 解析：作PO⊥α于O. 由∠PAB＝∠PAC，可知AO平分∠BAC， 作OC⊥AC于C，连接PC， 则PC⊥AC，PA＝a，AC＝a， 于是AO＝＝a， ∴PO＝＝a. 答案：a 6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为________． 解析：如图所示，设A1C1∩B1D1＝O1， ∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1， ∴B1D1⊥平面AA1O1， 故平面AA1O1⊥平面AB1D1，其交线为AO1， 在平面AA1O1内过点A1作A1H⊥AO1于H，则易知A1H的长即是点A1到平面AB1D1的距离． 在Rt△A1O1A中，A1O1＝， AO1＝＝3， 由A1O1·A1A＝A1H·AO1，可得A1H＝. 答案： 7.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为________． 解析：连接A1D交AD1于E. 则A1D⊥AD1，A1D⊥AB， ∴A1D⊥平面ABC1D1， ∴A1E为A1到平面ABC1D1的距离， A1E＝A1D＝， ∵O为A1C1的中点， ∴O到平面ABC1D1的距离等于A1E的， ∴d＝A1E＝. 答案： 8．已知平面α∥β，且它们之间的距离为d，给出以下命题： ①若直线a⊂α，则a到β的距离也为d； ②若直线b∥β，且b到β的距离为d，则b⊂α； ③若平面γ∩α＝l1，γ∩β＝l2，则l1与l2间的距离的取值范围为[d，＋∞)； ④若平面γ∥α，γ∥β，且α与γ的距离为d1，β与γ的距离为d2，则d1＋d2＝d. 其中假命题有________．(填写序号)． 解析：∵a⊂α，∴α上任意一点即为α内的一点，它到平面β的距离就是α与β间的距离，故命题①为真命题； 当平面α与直线b在平面β的两侧时，也可以有b∥β且b与β的距离为d，这时b⊄α，故命题②为假命题； 当γ⊥α与β相交时，l1与l2间的距离为d，而当γ与α，β相交且不垂直时，l1与l2间的距离大于d，由此可知命题③是真命题； 当γ平面夹在α与β之间时，有d1＋d2＝d，但当γ不夹在α与β之间时，d1＋d2≠d，故命题④为假命题． 综上所述，假命题为②④. 答案：②④ 三、解答题 9．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离． 解：如图，建立空间直角坐标系D1­xyz，则A(2,0,2)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，G(2,1,2)，所以＝(1，－2，－1)，＝(2，－1,1)， ＝(0，－1,0)． 设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则由n⊥，n⊥，得x－2y－z＝0,2x－y＋z＝0，从而x＝y，所以可取n＝(1,1，－1)，所以在n上射影的长度为＝＝，即点A到平面EFG的距离为. 10．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离． 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)， 从而＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)， ∴＝，＝， ∴EF∥MN，AM∥BF， ∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面EFBD的法向量， 从而即 解得 取z＝1，得n＝(2，－2,1)， 由于＝(0,4,0)， 所以在n上的投影长度为＝. 即平面AMN与平面EFBD间的距离为. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！