2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.6 离散型随机变量的数学期望 Word版含解析数学备课大师【全免费】.doc

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！ 8．2.6　离散型随机变量的数学期望 [读教材·填要点] 1．离散型随机变量X的数学期望 当离散型随机变量X有概率分布pi＝P(X＝xj)，j＝0,1，…，n，就称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的数学期望或均值． 如果X是从某个总体中随机抽取的个体，X的数学期望E(X)就是总体均值μ. 2．数学期望的有关公式 (1)若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)当X服从两点分布B(1，p)时，E(X)＝p； (3)当X服从二项分布B(n，p)时，E(X)＝np； (4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，E(X)＝n. [小问题·大思维] 1．随机变量X的均值E(X)是一个常数还是一个变量？ 提示：随机变量X是可变的，可以取不同的值，而数学期望(或均值)是不变的，它描述X取值的平均水平，由X的分布列唯一确定． 2．若c为常数，则E(c)为何值？ 提示：由离散型随机变量的均值的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b可知，若a＝0，则E(b)＝b，即若c为常数，则E(c)＝c. 3．E(X)与X的单位是否一致？ 提示：E(X)表示随机变量X的平均值，因此E(X)与X的单位是一致的． 离散型随机变量的数学期望 [例1]　为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (1)顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； [解]　设顾客所获的奖励额为X. (1)依题意，得P(X＝60)＝＝， 即顾客所获的奖励额为60元的概率为. (2)依题意，得X的所有可能取值为20,60. P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝， 即X的分布列为 X 20 60 P 所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)＝20×＋60×＝40(元)． 解决此类问题的一般步骤为： ①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； ②求出随机变量取各个值的概率； ③列出概率分布； ④利用均值公式进行计算． 1．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝. (2)X的所有可能值为0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 综上知，X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 2．某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望． 解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布为： X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)＝p＝0.6. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)． 则E(Y)＝np＝5×0.6＝3. 均值性质的应用 [例2]　已知随机变量X的概率分布为： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． [解]　(1)由随机变量概率分布的性质， ＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b， 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 法二：由于Y＝2X－3， 所以Y的概率分布为： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. 保持例题条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值． 解：E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－， ∴a＝15. 求均值的关键是求出概率分布，只要求出随机变量的概率分布，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的概率分布，再用定义求解． 3．随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的数学期望E(X)＝3，求E(aX＋b)的值． 解：由已知得(a×1＋b)＋(a×2＋b)＋(a×3＋b)＋(a×4＋b)＝1，即10a＋4b＝1.① 又E(X)＝3，故(a＋b)×1＋(2a＋b)×2＋(3a＋b)×3＋(4a＋b)×4＝3，即30a＋10b＝3.② 联立①，②，解得b＝0，a＝， ∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝E(X)＝×3＝0.3. 离散型随机变量的均值的实际应用 [例3]　某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润． (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求Y的分布列及均值E(Y)． [解]　(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”． P()＝(1－0.4)3＝0.216， P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784. (2)Y的可能取值为200元，250元，300元． P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4， P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此Y的分布列为 Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)． 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并求出随机变量的概率分布，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值． 4．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5. (1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值． 解：(1)设5发子弹命中X(X＝0,1,2,3,4,5)发， 则由题意有P(X＝5)＝C5＝. (2)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 设游客在一次游戏中获得奖金为Y元， 于是Y的分布列为 Y －2 0 40 P 故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为 E(Y)＝(－2)×＋0×＋40×＝－0.375(元). 解题高手 妙解题 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的均匀值) [尝试]　 　 　 　 [巧思]　用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少，分别求出单独采用甲措施，单独采用乙措施，联合采用甲乙措施的总费用，然后选取最小者即可． [妙解]　①不采取预防措施时，总费用损失期望值为400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1， 损失期望值为400×0.1＝40(万元)， 所以总费用为45＋40＝85(万元)． ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15， 损失均匀值为400×0.15＝60(万元)， 所以总费用30＋60＝90(万元)． ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用45＋30＝75(万元)， 发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015， 损失均值为400×0.015＝6(万元)， 所示总费用为75＋6＝81(万元)． 综合①②③④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少． 1．随机变量次品数X的概率分布为： X 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X＋4)等于(　　) A．13　　　B．11　　　　C．2.2　　　　D．2.3 解析：选A　E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　) A. B. C．2 D. 解析：选D　X＝2,3. P(X＝2)＝＝，P＝(X＝3)＝＝. ∴E(X)＝2×＋3×＝. 3．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为(　　) A．0.8 B．0.83 C．3 D．2.4 解析：选D　射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B(3,0.8)，∴E(X)＝3×0.8＝2.4. 4．某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为，击中目标射击停止，射击次数X为随机变量，则E(X)＝________. 解析：由题易知，X的概率分布为： X 1 2 3 4 5 P 可知E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 答案： 5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由题意X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝＋2×＋3×＝. 6．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险； B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B， P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， X～B(100,0.2)，即X服从二项分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 一、选择题 1．已知X～B，Y～B.且E(X)＝15，则E(Y)等于(　　) A．5　　　　　　　　　 B．10 C．15 D．20 解析：选B　因为X～B，所以E(X)＝， 又E(X)＝15，则n＝30.所以Y～B， 故E(Y)＝30×＝10. 2．已知随机变量X的概率分布为： X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 E(X)＝7.5，则a等于(　　) A．5　　　 B．6　　　　C．7　　　　D．8 解析：选C　∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5， 0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，∴a＝7，b＝0.4. 3．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则E(X)为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　随机变量X的取值分别为0,1,2,3， 且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是(　　) X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 解析：选A　节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)． 设利润为Y，则Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5 ＝3.4X－450， 所以E(Y)＝3.4E(X)－450 ＝3.4×340－450＝706(元)． 二、填空题 5．若随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝________. 解析：∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4. 答案：0.4 6．同时抛掷2枚均匀的硬币100次，设两枚硬币都出现正面的次数为X，则E(X)＝________. 解析：掷两枚均匀的硬币，两枚硬币都出现正面的概率为p＝×＝，所以X～B. 故E(X)＝np＝100×＝25. 答案：25 7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________. 解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×2＋2××2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案： 8．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是________． 解析：X的取值为6,9,12，相应的概率为 P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8. 答案：7.8 三、解答题 9．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望 E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 10．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． 解：(1)记“每一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值为200,300,400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) ＝1－－＝. 故X的分布列为 X 200 300 400 P E(X)＝200×＋300×＋400×＝350. “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！