0518高二数学（选修-人教B版）-导数公式表及导数的四则运算法则（1）-1教案.docx

教 案 教学基本信息 课题 导数公式表及导数的四则运算法则（1） 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名： 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 （B版） 出版社： 人民教育出版社 出版日期： 2007 年 4 月第二版 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 郭静静 北京一零一中学 实施者 郭静静 北京一零一中学 指导者 课件制作者 郭静静 北京一零一中学 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 认识基本初等函数的导数公式表，掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则. 2. 能正确运用导数公式表和导数的四则运算法则求某些简单函数的导数. 3. 由具体的两个函数的和的导数问题的求解，引出对一般的可导函数的和的求导法则的探究，并从导数定义角度给予理解，体验数学知识的生成过程，体会由特殊到一般的数学思想. 教学重点： 基本初等函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则. 教学难点： 函数的积和商的求导法则的理解和运用. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 在前面的学习中，我们根据导数定义探究了常数函数和几个常见幂函数的求导公式，它们都是基本初等函数. 其实，基本初等函数的导数，在科学研究和工程计算中经常用到，为了方便使用，数学工作者为我们制作出了常用函数的求导公式表. 下面我们就来一起学习一下这些函数的求导公式. 激活学生头脑中的原有知识，为新内容学习做准备. 新课 和 例题 （一） 认识基本初等函数的导数公式表 教师带领学生一起认识表中常用函数的求导公式,分析导函数解析式的特点. 为正整数 为有理数 （二）引入导数的四则运算法则 S思考：如何求下面几个函数的导数？ (1) (2) (3) (4) 学生思考，发现这些函数解析式比求导公式表中的复杂. 教师指出如果用定义求，会有些难度，过程也比较复杂，而且，像这样的函数，还有很多，每次都用定义去求导数不太实际. 教师带领学生观察这些函数解析式的结构, 发现这些函数都可以由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算构成，即初等函数. 问题： 能否利用基本初等函数的导数去求这些函数的导数呢？ 师生：如果知道了导数的运算法则，就可以利用基本初等函数的求导公式去求这些初等函数的导数，而不用每次都用定义求解了. （三）探究函数和（或差）的求导法则 思考：如何求函数的导数？ 师生根据导数定义对进行求导： 1.求函数值的增量： 2.求比值： 3.求极限： 追问：的导数与的导数，的导数有什么关系？ 容易看出，的导数等于和的导数之和.注意到,也就是说，这个结论是我们通过一个具体函数得到的，而对于一般的可导函数，这个结论是否还成立呢？ 结论： 根据导数定义探究：设，则函数值的增量 . 同样有，. 函数和（或差）的求导法则: 设是可导的，则 即，两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差). 根据加法结合律，不难看出，这个法则可以推广到任意有限个可导函数的和(或差)，即 例题：求函数的导数. 解： 小结： 这个函数可以由三个函数通过和差运算所构成，我们对函数的求导，并没有通过导数定义，而是运用基本初等函数求导公式和函数和（或差）的求导法则进行了求解，即方便也减少了重复的劳动. （四）学习函数积的求导法则 思考：两个函数的积的导数、商的导数，与这两个函数的导数又有什么关系呢？ 学生猜测： ？ ？ 教师带领学生用具体函数验证： 设，，则，， 可见，猜测是不成立的. 那具体是一种什么关系呢？在接下来的学习 中，我们就可以知道. 函数积的求导法则: 设是可导的，则 即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数. 教师分析等式的特征： 等号右边的这个式子，它是由两项之和构成的，其中一项是第一个函数的导函数与第二个函数的乘积形式，另一项是第二个函数的导函数与第一个函数的乘积形式. 举例： 设，，则，， 当两个函数做乘积运算时，如果一个函数比较特殊，比如是常数函数，那么这个乘积函数的导数有没有什么特殊形式呢？ 特别地， 即，常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数. 例题：求函数的导数. 解： 例题：求多项式函数的导数. 解： 小结：在的求导过程中，我们首先分析了函数解析式的结构，然后综合运用了函数和或差的求导法则，函数积的求导法则以及幂函数和常数函数的求导公式，对函数的导数进行了求解.最后，多项式函数的导数也是一个多项式函数. （五）学习函数商的求导法则 函数商的求导法则: 设是可导的，且，则 教师分析等式的特征： 等式右边是一个分式的结构，它的分母是的平方，也就是等式左边这个商函数的分母的平方，它的分子是两项之差的结构，其中第一项是等式左边商函数的分子的导数乘以分母，第二项是等式左边商函数的分母的导数乘以分子.可见，在这个差值结构中，第一项中出现的导数是原来分子的导数，第二项中出现的导数是原来分母的导数. 举例： 设，，则，， 当时， 思考： 能否利用函数积的求导法则来探究函数商的求导法则呢？ 教师分析：对两个可导函数，有 当时，在这个等式中，把其中的函数都替换为另一个函数 ，则会有 ， 即， 这样，我们就从函数积的求导法则得出了函数商的求导法则. 特别地，当时，有 例题：求函数的导数. 解： 以上这个例子是对函数商的求导法则的直接应用. 例题：求函数的导数. 解： 小结：正切函数虽是基本初等函数，但在求导公式表中未给出，是因为它可以转化为正弦函数与余弦函数做除法运算构成，利用函数商的求导法则求导，而不必通过导数定义求解. 练习：求函数的导数. 解： 分析导函数解析式结构，帮助理解和记忆求导公式,为后续求函数导数做准备. 给出一些函数，说明我们不可能都用导数定义去求导数. 通过观察、分析这些函数解析式的结构，发现它们都可以看作是或转化为一些基本初等函数通过运算而得，只要知道了导数的运算法则，就可以利用基本初等函数的求导公式解决问题. 体会研究问题的方法，理解学习导数的四则运算法则的必要性. 从学生已有知识经验出发，求具体函数的导数，既巩固了根据导数定义求导数的步骤和方法，又为函数和的求导法则的获得做准备. 由具体到一般，体会研究问题的方法和思路. 根据导数定义探究函数和的求导法则，巩固用定义法求导数的步骤和方法，同时在符号抽象表达过程中，发展学生的数学抽象素养. 类比给出函数差的求导法则，探究过程省略，给学生尝试机会. 学会用语言叙述函数和（或差）的求导法则内容，帮助理解法则内涵. 学以致用，通过例题强化对函数和、差求导法则的理解,巩固对基本初等函数的求导公式的记忆，体验运用求导公式与函数和、差求导法则求导数的过程. 提出问题，引发思考. 类比函数和（或差）的求导法则的形式，学生有这样的猜测是自然的.为了避免这样的错误出现，教师带领学生用具体函数验证，发现结论是否定的.学生在验证的过程中，体会到反例的作用. 提出问题，激发学生继续学习的兴趣. 通过分析等式特征，理解函数积的求导法则的内涵，帮助记忆法则. 通过举例，既对前面猜测不成立进行了回应，也在运算中直观感知了函数积的求导法则的合理性. 由一般到特殊，应用函数积的求导法则. 学以致用，通过例题强化对函数积的求导法则的理解和认识,巩固对基本初等函数的求导公式的记忆，体验运用求导公式与函数的和、差、积的求导法则求导数的过程. 回顾求导过程，总结方法. 通过分析等式特征，理解函数商的求导法则的内涵，帮助记忆法则，避免出错. 通过举例，既对前面猜测不成立进行了回应，也在运算中直观感知了函数商的求导法则的合理性. 为了增强学生对函数商的求导法则合理性的认知，以学生刚学过的函数积的求导法则为基础，利用等式的性质，通过代数变形，获得函数商的求导法则形式.在此过程中，拓展学生的视野，发展学生的数学抽象素养. 由一般到特殊，应用函数商的求导法则. 学以致用，通过例题强化对函数商的求导法则的理解和认识,巩固对基本初等函数的求导公式的记忆，体验运用求导公式与函数商的求导法则求导数的过程. 通过练习，进一步巩固对函数商的求导法则的理解和应用，巩固这个函数的求导公式的记忆. 总结 我们首先学习了基本初等函数的导数公式表，然后通过求具体的两个函数的和的导数问题，引出了函数和（或差）的求导法则，而后我们学习了函数积的求导法则与函数商的求导法则，并尝试着利用积的求导法则探究了商的求导法则. 在学习的过程中，我们还运用这些求导法则和导数公式求了一些简单函数的导数，其中，我们对每个函数的结构进行了分析，然后采用了合适的法则进行求导. 通过小结，反思学习过程和知识的生成过程，加深对求导公式和导数的四则运算法则的印象，从而深刻理解运算法则；体会研究问题的方法，理清研究问题的思路，明确研究问题的步骤. 作业 1.求函数的导数. 2.求函数的导数. 8