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学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 值得思考的最值 江苏 刘 顿 例1 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）． （1）直接写出y与x的函数表达式； （2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 解析：（1）设线段AB的函数表达式为y＝kx+b（40≤x≤60）. 将A（40，300），B（60，100）代入，得解得 所以线段AB的函数表达式为y=-10x+700（40≤x≤60）. 设线段BC的函数表达式为y=mx+n（60＜x≤70）. 将B（60，100），C（70，150）代入，得解得 所以线段BC的函数表达式为y=5x-200（60＜x≤70）. 综上，y与x的函数表达式为y= （2）设获得的利润为w元. 当40≤x≤60时，w=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000.因为-10＜0，所以w有最大值.当x=50时，w取得最大值，为4000. 当60＜x≤70时，w=（x-30）（5x-200）-150（x-60）=5（x-50）2+2500.因为5＞0，所以w有最小值.当60＜x≤70时，w随x的增大而增大.所以当x=70时，w的值最大，为w=5（70-50）2+2500=4500. 综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元． 例2 嘉琪第一期培植盆景与花卉各40盆，售后统计，盆景平均每盆的利润是120元，花卉平均每盆的利润是15元，调研发现：①盆景每增加1盆，平均每盆的利润减少2元；每减少1盆，平均每盆的利润增加2元；②花卉平均每盆的利润始终不变．嘉琪计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w 1，w 2（单位：元）． （1）第二期盆景的数量为_______________盆，花卉的数量为_______________盆； （2）求w1，w2关于x的函数表达式； （3）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？ 解析：（1）（40+x） [100-（40+x）] （2）由题意，得w 1=（40+x）（120-2x）=-2x2+40x+4800，所以w 1关于x的函数表达式为w 1=-2x2+40x+4800. w 2=15×[100-（40+x）]=-15x+900，所以w 2关于x的函数表达式为w 2=-15x+900. （3）w= w 1+ w 2=（-2x2+40x+4800）+（-15x+900）=-2x2+25x+5700. 因为-2<0，所以w有最大值.因为对称轴为x=-=6.25，且x为整数，所以x的值取6或7时，w能取得最大值.当x=6时，w=-2×62+25×6+5700=5778；当x=7时，w=-2×72+25×7+5700=5777. 因为5778＞5777，所以当x=6时，w取得最大值，为5778. 所以当x的值为6时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是5778元． 方法总结：通常与二次函数有关的实际问题的最值在顶点处取得，但下列两种情形的最值不一定在二次函数的顶点处取得：1. 顶点坐标的横坐标不在自变量x的取值范围内；2. 虽然顶点坐标的横坐标在自变量x的取值范围内，但因某些限制性条件无法在顶点处取得最值（如顶点处坐标为非整数，而实际问题中只能取整数）． 2