心中有思想脑中有思路.doc

学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 心中有思想 脑中有思路 山西 常 英 1. 转化思想 例1对于任意实数a，b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）-5=0的两根记为m，n，则m2+n2=　 　． 分析：观察“新运算”的要求，将新运算转化为我们熟悉的运算，再利用根与系数的关系求解即可. 解：由题意，得（x◆2）﹣5=x2+2x-1.因为m，n为方程x2+2x-1=0的两个根，所以m+n=-2，mn=-1，所以m2+n2=（m+n）2-2mn=6．故填6. 2. 整体思想 例2 若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　 　． 分析：由m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，可得2m2﹣3m﹣1=0，然后将其变形为2m2﹣3m=1，再将6m2﹣9m+2015转化为3（2m2﹣3m）+2015的形式，把2m2﹣3m=1整体代入即可. 解：将m代入方程2x2﹣3x﹣1=0，得2m2﹣3m﹣1=0，变形为2m2﹣3m=1，所以6m2﹣9m+2015=3（2m2﹣3m）+2015=2018. 故填2018. 3. 分类讨论思想 例3 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．9 C．13 D．12或9 分析：求出方程的解，即可得出三角形的边长，但题中并没有说明哪条边是底或腰，故需分类讨论. 解：解方程x2﹣7x+10=0，得x1=2，x2=5. 当等腰三角形的腰长为2时，则三角形的底边长为5.因为2+2<5，所以不能组构成三角形； 当等腰三角形的腰长为5时，则三角形的底边长为2.等腰三角形的三边长分别为2,5，5，满足三角形的三边关系.2+5+5=12.故选A. 例4 已知关于x的方程kx2﹣4x+3=0有实数根，试求k的取值范围. 分析：方程“有实数根”,既可以是“有一个实数根”,也可以是“有两个实数根”,即方程既可以是一元一次方程,也可以是一元二次方程,故需按和来分类讨论. 解：（1）当=0时，原方程为 ，这时有一个实数根. （2）当时,方程有两个实数根，则≥0，解得≤，且≠0. 综上所述, 的取值范围应为≤. 牛刀小试 1.对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如：5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为　 　． 2.已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　 　． 3．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为　 　． 4.已知关于x的方程（k﹣1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，则k的值是　 　． 牛刀小试答案：1. 1 2. 1 3. 16 4. 2