四边形(填空题).docx

2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(填空题)》 一．填空题（共37小题） 1．（2023•大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE．CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为 　 　． 2．（2023•大连）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为 　 　． 3．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于　 　°． 4．（2023•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD=3，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 　 　． 5．（2023•湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 　 　dm2． 6．（2023•兰州）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　 　°． 7．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　 　，使四边形ABCD成为菱形． ​ 8．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 　 　边形． 9．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　 　，使得矩形ABCD为正方形． 10．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　 　． 11．（2023•福建）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 　 　． 12．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　 　． 13．（2023•福建）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　 　． 14．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　． 15．（2023•陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　 　． 16．（2023•十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝　 　． 17．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　 　． 18．（2023•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　 　． 19．（2023•绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　 　． 20．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　 　． 21．（2023•内江）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 　 　． 22．（2023•内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　 　． 23．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 　 　． 24．（2023•天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=52． （1）△ADE的面积为 　 　； （2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　 　． 25．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 　 　． 26．（2023•株洲）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝　 　． ​ 27．（2023•枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　 　． 28．（2023•上海）如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD＝BD，DE∥BC，联结DE，设向量AB→=a→，AC→=b→，那么用a→，b→表示DE→=　 　． 29．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　 　． 30．（2023•临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　 　． 31．（2023•怀化）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为 　 　． 32．（2023•巴中）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为 　 　． 33．（2023•金昌）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝　 　cm． 34．（2023•云南）五边形的内角和等于 　 　度． 35．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 　 　． 36．（2023•凉山州）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 　 　． 37．（2023•重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 　 　． 2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(填空题)》 参考答案与试题解析 一．填空题（共37小题） 1．（2023•大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE．CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为 　3104　． 【考点】正方形的性质；角平分线的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【分析】过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，首先证四边形CMFN为正方形，再设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，BE＝5，EM＝2﹣a，然后证△EFM和△EAB相似，由相似三角形的性质求出a，进而在Rt△AFN中由勾股定理即可求出DF． 【解答】解：过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝3， ∴∠ACB＝90°，BC＝AB＝CD＝3， ∵FM⊥CE，FN⊥CD，∠ACB＝∠B＝90°， ∴四边形CMFN为矩形， 又∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD， ∴FM＝FN， ∴四边形CMFN为正方形， ∴FM＝FN＝CM＝CN， 设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a， ∵CE＝2， ∴BE＝BC+CE＝5，EM＝CE﹣CM＝2﹣a， ∵∠B＝90°，FM⊥CE， ∴FM∥AB， ∴△EFM∽△EAB， ∴FM：AB＝EM：BE， 即：a：3＝（2﹣a）：5， 解得：a=34， ∴FN=CN=35， ∴DN=CD-CN=3-34=94， 在Rt△AFN中，DN=94，FN=34， 由勾股定理得：DF=DN2+FN2=3104． 故答案为：3104． 【点评】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例． 2．（2023•大连）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为 　5　． 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由四边形ABCD是菱形，可得BC＝DC，AC⊥BD，∠BEC＝90°，又∠DBC＝60°，知△BDC是等边三角形，BC＝BD＝10，而点F为BC中点，故EF=12BC＝5． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，AC⊥BD， ∴∠BEC＝90°， ∵∠DBC＝60°， ∴△BDC是等边三角形， ∴BC＝BD＝10， ∵点F为BC中点， ∴EF=12BC＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于　72　°． 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有 【专题】正多边形与圆． 【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解． 【解答】解：正五边形的一个外角=360°5=72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键． 4．（2023•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝1，AD=3，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 　3-12　． 【考点】矩形的性质．菁优网版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=2，求得AB=12AC，得到∠ACB＝30°，求得∠CAE＝15°，过E作EF⊥AC于H，交BC于F，根据等边三角形的判定定理得到△CEF是等边三角形，求得∠BAF＝45°，得到BF＝AB＝1，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接AC，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，AD=3， ∴AC=AB2+BC2=2， ∴AB=12AC， ∴∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵∠BAE＝75°， ∴∠CAE＝15°， 过E作EF⊥AC于H，交BC于F， ∵∠BCE＝60°， ∴∠ECA＝30°， ∴∠CEF＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EH＝FH， ∴∠EAH＝∠FAH＝15°， ∴∠BAF＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴BF＝AB＝1， ∵BC=3， ∴CF＝EF=3-1， ∴EH=12EF=3-12， ∴四边形ABCE的面积＝S△ABC+S△AEC=12×3×1+12×2×3-12=3-12， 故答案为：3-12， 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形 的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（2023•湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 　2　dm2． 【考点】正方形的性质；七巧板；平行四边形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE的长，即可求解． 【解答】解：如图所示， 依题意，OD=22AD＝22，OE=12OD=2， ∴图中阴影部分的面积为OE2＝（2）2＝2（dm2）， 故答案为：2． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2023•兰州）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　50　°． 【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】因为BD＝CD，所以∠DBC＝∠C＝70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC＝70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，由余角的性质可求∠DAE，即可求解． 【解答】解：在△DBC中， ∵BD＝CD，∠C＝70°， ∴∠DBC＝∠C＝70°， 又∵在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°， 又∵AE⊥BD， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°． 故答案为：50． 【点评】此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中． 7．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　AD∥BC（AB＝CD或 OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD 等）　，使四边形ABCD成为菱形． ​ 【考点】菱形的判定．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】根据AD∥BC或AB＝CD或或ADB＝∠CBD，证得四边形ABCD是平行四边形，再根据AC⊥BD可证得四边形ABCD是菱形；根据OB＝OD，证得Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），得到AO＝CO，DO＝BO，可证得四边形ABCD是菱形． 【解答】解：当添加“AD∥BC”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“AB＝CD”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加“OB＝OD”时， ∵AD＝BC，AC⊥BD， ∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL）， ∴AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“ADB＝∠CBD”时， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定，利用数形结合的思想解答． 8．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 　五　边形． 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【解答】解：设此多边形的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝540°， 解得：n＝5， 即此多边形为五边形， 故答案为：五． 【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 9．（2023•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　AB＝AD（答案不唯一）　，使得矩形ABCD为正方形． 【考点】正方形的判定；矩形的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】根据正方形的判定方法添加即可． 【解答】解：AB＝AD． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 或∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键． 10．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 　2或1+2　． 【考点】矩形的性质；勾股定理．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况： ①如图1，当∠MND＝90°时， 则MN⊥AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴MN∥AB， ∵M为对角线BD的中点， ∴AN＝DN， ∵AN＝AB＝1， ∴AD＝2AN＝2； 如图2，当∠NMD＝90°时， 则MN⊥BD， ∵M为对角线BD的中点， ∴BM＝DM， ∴MN垂直平分BD， ∴BN＝DN， ∵∠A＝90°，AB＝AN＝1， ∴BN=2AB=2， ∴AD＝AN+DN＝1+2， 综上所述，AD的长为2或1+2． 故答案为：2或1+2． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 11．（2023•福建）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 　10　． 【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，又∠B＝60°，因此△ABC是等边三角形，得到AC＝AB＝10． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABC是等边三角形． 12．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　24　． 【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】先根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，再由EF是线段BC的垂直平分线得出EF⊥BC，OB＝OC=12BC＝4，根据勾股定理求出OE的长，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8， ∴AD＝BC＝8， ∵由EF是线段BC的垂直平分线， ∴EF⊥BC，OB＝OC=12BC＝4， ∵CE＝5， ∴OE=CE2-OC2=52-42=3． ∵CF∥BE， ∴∠OCF＝∠OBE， 在△OCF与△OBE中， ∠COF=∠BOEOC=OB∠OCF=∠OBE， ∴△OCF≌△OBE（ASA）， ∴OE＝OF＝3， ∴S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC =12BC•OE+12BC•OF =12×8×3+12×8×3 ＝12+12 ＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根据题意得出OE＝OF是解题的关键． 13．（2023•福建）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　10　． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】由平行线四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，因此∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，又OD＝OB，即可证明△DOF≌△BOE（AAS），得到FD＝BE，于是得出CF＝AE＝10． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO， ∵O为BD的中点， ∴OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴CD﹣DF＝AB﹣BE， ∴CF＝AE＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由△DOF≌△BOE推出DF＝BE，由平行线的性质得到CD＝AB，推出CF＝AE． 14．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　2　． 【考点】正方形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 MN=12AE，然后由正方形的性质和勾股定理得到 AE=AB2+BE2=4+BE2，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点 C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可． 【解答】解：如图所示，连接AE， ∵M，N分别是EF，AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴MN=12AE， ∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°， ∴AE=AB2+BE2=4+BE2， ∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大， ∵点E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度， ∴此时 AE=4+22=22， ∴MN=12AE=2， ∴MN的最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15．（2023•陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　62°　． 【考点】菱形的性质；中心对称．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力． 【分析】连接BE，根据中心对称图形的定义得出点E是菱形ABCD的两对角线的交点，根据菱形的性质得出AE⊥BE，∠ABE=12∠ABC＝28°，那么∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°． 【解答】解：如图，连接BE， ∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC＝56°， ∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点， ∴AE⊥BE，∠ABE=12∠ABC＝28°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°． 故答案为：62°． 【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 16．（2023•十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝　6　． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】连接AC交BD于点O，先根据菱形的面积公式计算出对角线AC的长，再证△BEF∽△BAC，得出EFAC=BEBA，同理可证△DHG∽△DAC，得出GHAC=DHDA，两式相加，即可求出EF+GH的值． 【解答】解：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD， ∵菱形的面积等于24，BD＝8， ∴AC⋅BD2=24， ∴AC＝6， ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE＝180°﹣∠EBF， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA＝180°﹣∠ABC， ∴∠BEF＝∠BAC， ∴EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴EFAC=BEBA， ∵BA＝DA， ∴EFAC=BEAD， 同理可证△DHG∽△DAC， ∴GHAC=DHDA， ∴EFAC+GHAC=BEAD+DHAD， 即EF+GHAC=BE+DHAD=AH+DHAD=ADAD=1， ∴EF+GH＝AC＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，求出EF+GH＝AC是此题的关键． 17．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　22　． 【考点】矩形的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由题意知△CDE是等腰直角三角形，作点N关于EC的对称点N'，则N'在直线CD上，连接PN'，PN＝PN'，PM+PN＝4．即PM+PN'＝4，BC＝4，BM＝BN，所以此时M、P、N'三点共线且MN'∥AD，点P在MN'的中点处，PM＝PN'＝2，PC＝22． 【解答】解：∵DE＝AB＝CD＝3， ∴△CDE是等腰直角三角形， 作点N关于EC的对称点N'，则N'在直线CD上，连接PN'，如图： ∵PM+PN＝4． ∴PM+PN'＝4＝BC，即MN'＝4， 此时M、P、N'三点共线且MN'∥AD，点P在MN'的中点处， ∴PM＝PN'＝2， ∴PC＝22． 故答案为：22． 【点评】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 18．（2023•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　22　． 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得到OB=12BD，OA=12AC，AC＝BD，根据三角形的面积公式得到AN＝BM，根据全等三角形的性质得到ON＝OM，FM＝EN，设FM＝EN＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M， ∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=12BD，OA=12AC，AC＝BD， ∴OB＝OA， ∵S△AOB=12OB•AN=12OA•BM， ∴AN＝BM， ∴Rt△AON≌Rt△BOM（HL）， ∴ON＝OM， ∴BN＝AM， ∵AE＝BF， ∴Rt△ANE≌△Rt△BMF（HL）， ∴FM＝EN， 设FM＝EN＝x， ∵AF＝1，BE＝3， ∴BN＝3﹣x，AM＝1+x， ∴3﹣x＝1+x， ∴x＝1， ∴FM＝1， ∴AM＝2， ∵AB＝5， ∴BM=AB2-AM2=21， ∴BF=FM2+BM2=1+21=22， 故答案为：22． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．（2023•绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　10°或80°　． 【考点】菱形的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【分析】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数． 【解答】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示， 在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC， ∵∠DAB＝40°， ∴∠DAC＝20°， ∵AC＝AE， ∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°， ∵AE′＝AC， ∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°， 综上所述，∠AEC的度数是10°或80°， 故答案为：10°或80°． 【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 20．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝　5　． 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【分析】根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可． 【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°， ∴n＝360÷72＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 21．（2023•内江）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为 　12-43　． 【考点】正方形的性质；锐角三角函数的定义；等边三角形的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，先利用60°角的正弦值求出PF的长，即可求出等边△BPC的面积，再求出PE的长，即可求出△PCD的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F， ∴∠PFC＝∠PEC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BCD＝90°， ∵△BPC是等边三角形， ∴PC＝BC＝4，∠PCB＝60°， 在Rt△PFC中，sin60°=PFPC， 即32=PF4， ∴PF=23， ∴S△BPC=12BC⋅PF=12×4×23=43， ∵∠BCD＝90°，∠PCB＝60°， ∴∠PCE＝30°， ∴PE=12PC=12×4=2， ∴S△PCD=12CD⋅PE=12×4×2=4， ∵S正方形ABCD=42=16， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BPC﹣S△PCD =16-43-4 =12-43， 故答案为：12-43． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，图形间面积关系，掌握这些性质是解题的关键． 22．（2023•内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　6013　． 【考点】矩形的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】连接OE，根据矩形的性质得到BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=13，求得OB＝OC=132，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO， ∵AB＝5，BC＝12， ∴AC=AB2+BC2=13， ∴OB＝OC=132， ∴S△BOC＝S△BOE+S△COE=12×OB•EG+12OC•EF=12S△ABC=12×12×5×12=15， ∴12×132EG+12×132EF=12×132(EG+EF)=15， ∴EG+EF=6013， 故答案为：6013． 【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 23．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 　6　． 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：多边形的边数是：360°÷60°＝6， ∴这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键． 24．（2023•天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=52． （1）△ADE的面积为 　3　； （2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 　13　． 【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】（1）过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM＝DM=12AD=32，根据勾股定理得到EM=AE2-AM2=2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM＝AB＝3，AB∥EP，根据全等三角形的性质得到EN＝AB＝3，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）过E作EM⊥AD于M， ∵EA=ED=52．AD＝3， ∴AM＝DM=12AD=32， ∴EM=AE2-AM2=2， ∴△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3； 故答案为：3； （2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD， ∴EP⊥BC， ∴四边形ABPM是矩形， ∴PM＝AB＝3，AB∥EP， ∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF， ∵F为BE的中点， ∴BF＝EF， 在△ABF与△NEF中， ∠ABF=∠NEFBF=EF∠AFB=∠NFE， ∴△ABF≌△NEF（ASA）， ∴EN＝AB＝3， ∴MN＝1， ∵PM∥CD， ∴AN＝NG， ∴GD＝2MN＝2， ∴AG=AD2+GD2=13， 故答案为：13． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 　38　． 【考点】正方形的性质；翻折变换（