反比例函数(解答题).docx

2023年中考数学真题知识点汇编之《反比例函数(解答题)》 一．解答题（共38小题） 1．（2023•贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点． （1）求反比例函数的表达式和点E的坐标； （2）若一次函数y＝x+m与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围． 2．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当y1＞y2时，求x的取值范围． 3．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′． （1）反比例函数y=kx的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式． 4．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y=kx（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）请根据图象直接写出不等式kx＜ax+b的解集． 5．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C（a，1）． （1）求反比例函数y=kx和直线OC的表达式； （2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 6．（2023•济宁）如图，正比例函数y1=12x和反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x＞0)的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积． ​ 7．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 15 50 波长λ（m） 30 20 6 （1）求波长λ关于频率f的函数解析式． （2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ． 8．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A(3，1) 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF． ​（1）求k的值； （2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 9．（2023•兰州）如图，反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣2x+m的表达式； （2）当OD＝1时，求线段BC的长． 10．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点p（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=mx的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值． 11．（2023•岳阳）如图，反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标． 12．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式； ②求y2关于x的函数表达式； ③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　 　（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围． 13．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线y=mx(m为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）在双曲线y=mx上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程； （3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞mx的解集． 14．（2023•十堰）函数y=kx+a的图象可以由函数y=kx的图象左右平移得到． （1）将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x+a的图象，则a＝　 　； （2）下列关于函数y=1x+a的性质：①图象关于点（﹣a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y＝﹣x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是 　 　（填写序号）； （3）根据（1）中a的值，写出不等式1x+a＞1x的解集． 15．（2023•广元）如图，已知一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数y=mx（m＞0）的图象交于A（3，4），B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E． ​（1）求k，m的值及C点坐标； （2）连接AD，CD，求△ACD的面积． 16．（2023•湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为y2=mx(x＞0)的图象交于A(4，1)，B(12，a)两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围； （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标． 17．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集； （3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积． 18．（2023•衡阳）如图，正比例函数y=43x的图象与反比例函数y=12x（x＞0）的图象相交于点A． （1）求点A的坐标． （2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长． 19．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数y=kx(k＞0，x＞0) 的图象上． （1）求k的值； （2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值． 20．（2023•乐山）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=4x的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求m的值和一次函数的表达式； （2）已知P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标． ​ 21．（2023•江西）如图，已知直线y＝x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，3），与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点C． （1）求直线AB和反比例函数图象的表达式； （2）求△ABC的面积． 22．（2023•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=4x的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜4x的解集； （3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为52时，求点P的坐标． 23．（2023•杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1=k1x与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4． （1）求k1，k2的值． （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点． 24．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm． （1）求h关于ρ的函数解析式； （2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ． 25．（2023•苏州）如图，一次函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（4，n）．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上． （1）求n，k的值； （2）当m为何值时，AB•OD的值最大？最大值是多少？ 26．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C（3，0），顶点A、B（6，m）恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上． （1）分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 27．（2023•金昌）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点B（3，a）． （1）求点B的坐标； （2）用m的代数式表示n； （3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式． 28．（2023•巴中）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=mx（m≠x）的图象交于A、B两点，A的横坐标为﹣4，B的纵坐标为﹣6． （1）求反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式kx＜mx的解集． （3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式． 29．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】 （1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC＝x，AE＝y，试用含x的代数式表示y． 【由数想形 新知初探】 （2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象． 【数形结合 深度探究】 （3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是﹣42＜y＜42；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归 拓展总结】 （4）若将（1）中的“AB＝4”改成“AB＝2k”，此时y关于x的函数表达式是 　 　；一般地，当k≠0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 30．（2023•遂宁）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（﹣4，1），B（m，4）两点．（k1，k2，b为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式k1x+b＞k2x的解集； （3）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标． 31．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图 象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标； （3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 32．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C（6，a）． （1）求反比例函数的表达式； （2）当kx+b＞mx时，直接写出x的取值范围； （3）在双曲线y=mx上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 34．（2023•凉山州）阅读理解题：阅读材料： 如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13． 证明：设BE＝k， ∵tanα=12， ∴AB＝2k， 易证△AEB≌△EFC（AAS）． ∴EC＝2k，CF＝k， ∴FD＝k，AD＝3k， ∴tanβ=DFAD=k3k=13， 若α+β＝45°时，当tanα=12，则tanβ=13． 同理：若α+β＝45°时，当tanα=13，则tanβ=12． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值； （3）求直线AE的解析式． 35．（2023•南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3a，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标． 36．（2023•达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I=UR+RL，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 a 3 4 6 … I/A … 4 3 2.4 2 b … ​（1）a＝　 　，b＝　 　； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2（x≥0），结合表格信息，探究函数y=12x+2（x≥0）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2（x≥0）的图象； ​ ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为 　 　． 37．（2023•自贡）如图，点A（2，4）在反比例函数y1=mx图象上．一次函数y2＝kx+b的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且△OAC与△OBC的面积比为2：1． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出y1≥y2时，x的取值范围． 38．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2． （1）求k，m的值； （2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 2023年中考数学真题知识点汇编之《反比例港函数(解答题)》 参考答案与试题解析 一．解答题（共38小题） 1．（2023•贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点． （1）求反比例函数的表达式和点E的坐标； （2）若一次函数y＝x+m与反比例函数y=kx(x＞0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，由题意可知点E的纵坐标为2，代入反比例函数的解析式即可求得点E的横坐标； （2）求得直线经过点D和点E的坐标，即可求得m的取值． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点， ∴B（4，2）， ∴点E的纵坐标为2， ∵反比例函数y=kx(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E， ∴k＝4×1＝4， ∴反比例函数解析式为y=4x， 把y＝2代入得，2=4x， 解得x＝2， ∴E（2，2）； （2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3， 把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0， ∴m的取值范围是﹣3≤m≤0． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得交点的坐标是解题的关键． 2．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当y1＞y2时，求x的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）把B（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx，即可求出m的值和反比例函数的解析式； （2）先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1＞y2时x的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B（3，﹣1）， ∴﹣1＝﹣3+m，﹣1=k3， 解得m＝2，k＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为y2=−3x； （2）解方程组y=−x+2y=−3x，得x=−1y=3或x=3y=−1， ∴A（﹣1，3）， 观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式． 3．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′． （1）反比例函数y=kx的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式． 【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点， ∴OA＝3，OB＝4， ∴BC＝2， 将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′， ∴C′（2，4）， ∵反比例函数y=kx的图象经过点C′， ∴k＝2×4＝8， ∴该反比例函数的表达式为y=8x； （2）作A′H⊥y轴于H． ∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°， ∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠A′BH， ∵BA＝BA′， ∴△AOB≌△BHA′（AAS）， ∴OA＝BH，OB＝A′H， ∵OA＝3，OB＝4， ∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4， ∴OH＝1， ∴A′（4，1）， 设一次函数的解析式为y＝ax+b， 把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，−3a+b=04a+b=1， 解得a=17b=37， ∴该一次函数的表达式为y=17x+37． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y=kx（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）请根据图象直接写出不等式kx＜ax+b的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；不等式的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．菁优网版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形面积的和差，可得答案； （3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解． 【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 y=kx 的图象上， ∴−3=k4． ∴k＝﹣12． ∴反比例函数的表达式为 y=−12x． ∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y=−12x 的图象上， ∴3m=−12−m． ∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）． ∴点A的坐标为（﹣2，6）． ∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 −2a+b=64a+b=−3， ∴a=−32b=3． ∴一次函数的表达式为y=−32x+3． （2）∵点C为直线AB与y轴的交点， ∴OC＝3． ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC =12•OC•|xA|+12•OC•|xB| =12×3×2+12×3×4 ＝9． （3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜4． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． 5．（2023•菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y=kx在第一象限的图象于点C（a，1）． （1）求反比例函数y=kx和直线OC的表达式； （2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，先证△CBD∽△BAO，求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式和直线OC的解析式； （2）先求出直线l的解析式，然后与反比例函数的解析式组成方程组，求出方程组的解即得出直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∴∠BDC＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BDC＝∠AOB， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBD＝∠BAO， ∴△CBD∽△BAO， ∴CDBO=BDAO， ∵A（0，4），B（2，0），C（a，1）， ∴AO＝4，BO＝2，CD＝1， ∴12=BD4， ∴BD＝2， ∴OD＝BO+BD＝4， ∴a＝4， ∴点C的坐标是（4，1）， ∵反比例函数y=kx过点C， ∴k＝4×1＝4， ∴反比例函数的解析式为y=4x； 设直线OC的解析式为y＝mx， ∵其图象经过点C（4，1）， ∴4m＝1， 解得m=14， ∴直线OC的解析式为y=14x； （2）将直线OC向上平移32个单位，得到直线l， ∴直线l的解析式为y=14x+32， 由题意得，y=14x+32y=4x， 解得x1=−8y1=−12，x2=2y2=2， ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(−8，−12)或（2，2）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解． 6．（2023•济宁）如图，正比例函数y1=12x和反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=kx(x＞0)的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积． ​ 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【专题】数形结合；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式； （2）根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式，利用三角形面积公式列式计算． 【解答】解：（1）把A（m，2）代入 y1=12x 得： 12m=2， 解得m＝4， ∴A（4，2）， 把A（4，2）代入 y2=kx(x＞0)得： k4=2， 解得k＝8， ∴反比例函数的解析式为 y2=8x； （2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图： 将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 y=12x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点B的坐标为（0，3）， 设直线AB的函数解析式为y＝mx+n， 将A（4，2），B（0，3）代入可得： 4m+n=2n=3， 解得：m=−14n=3， ∴直线AB的函数解析式为y=−14x+3， 联立解析式得：y=12x+3y=8x 解得：x=2y=4， ∴C点坐标为（2，4）， 在y=−14x+3中，当 x＝2时，y=52， ∴CN＝4−52=32， ∴S△ABC=12×32×4＝3； ∴△ABC的面积为3． 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键． 7．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 15 50 波长λ（m） 30 20 6 （1）求波长λ关于频率f的函数解析式． （2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ． 【考点】反比例函数的应用．菁优网版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）设解析式为λ=kf（ k≠0），用待定系数法求解即可； （2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ． 【解答】解：（1）设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=kf（ k≠0）， 把点（10，30）代入上式中得：k10=30， 解得：k＝300， ∴λ=300f； （2）当f＝75MHz时，λ=30075=4， 答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长入为4m． 【点评】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 8．（2023•河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A(3，1) 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF． ​（1）求k的值； （2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 【考点】反比例函数的应用；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【分析】（1将A（3，1）代入y=kx中即可求解； （2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解； （3）先计算出S菱形AOCD＝23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO=3，从而问题即可解答． 【解答】解：（1）将A（3，1）代入到y=kx中， 得：1=k3， 解得：k=3； （2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G， ∵A（3，1）， ∴AG＝1，OG=3， OA=(3)2+12=2， ∴半径为2； ∵AG=12OA， ∴∠AOG＝30°， 由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝60°， ∴∠AOC＝60°， ∴圆心角的度数为：60°； （3）∵OD＝2OG＝23， ∴S菱形AOCD＝AG×OD＝23， ∴S扇形AOC=16×π×r2=2π3， 在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO， ∵S△FHO=k2=32， ∴S△FBO＝2×32=3， ∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC=3+23−23π＝33−23π． 【点评】本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键． 9．（2023•兰州）如图，反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数y=kx与一次函数y＝﹣2x+m的表达式； （2）当OD＝1时，求线段BC的长． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知B、C的纵坐标为1，即可求得B（﹣4，1），C（12，1），从而求得BC＝412． 【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx(x＜0)与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4）， ∴4=k−1，4＝﹣2×（﹣1）+m， ∴k＝﹣4，m＝2， ∴反比例函数为y=−4x，一次函数为y＝﹣2x+2； （2）∵BC⊥y轴于点D， ∴BC∥x轴， ∵OD＝1， ∴B、C的纵坐标为1， ∴B（﹣4，1），C（12，1）， ∴BC=12+4=412． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10．（2023•聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点p（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y=mx的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据反比例函数过A（﹣1，4），B（a，﹣1），求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式； （2）证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值． 【解答】解：（1）反比例函数y=mx的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点， ∴m＝﹣1×4＝a•（﹣1）， ∴m＝﹣4，a＝4， ∴反比例函数为y=−4x，B（4，﹣1）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得4k+b=−1−k+b=4， 解得k=−1b=3， ∴一次函数为y＝﹣x+3； （2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP， ∴四边形APQB是平行四边形， ∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P， ∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5）， ∵点Q在y=−4x上， ∴5+n=45， 解得n=−215， ∴Q（45，﹣5）， 连接AQ，交x轴于点C， 设直线AQ为y＝k′x+b′， 则−k′+b′=445k′+b′=−5，解得k′=−5b′=−1， ∴直线AQ为y＝﹣5x﹣1， 令y＝0，则x=−15， ∴C（−15，0）， ∴PC=−15+215=4， ∴S△APQ＝S△APC+S△QPC=12×4×（4+5）＝18， ∴四边形APQB的面积为36， 故n=−215符合题意． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，不是出Q点的坐标是解题的关键． 11．（2023•岳阳）如图，反比例函数y