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2023年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）下列实数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D．​​ 3．（4分）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A．1 B．5 C．7 D．9 4．（4分）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A．104×107 B．10.4×108 C．1.04×109 D．0.104×1010 5．（4分）下列计算正确的是（　　） A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a3•a4＝a12 D．a2﹣a＝a 6．（4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.85 7．（4分）阅读以下作图步骤： ①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD； ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M； ③作射线OM，连接CM，DM，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　） A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 8．（4分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．​根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为0 9．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣ C． D．3 10．（4分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　） A． B．2 C．3 D．2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作 　 　． 12．（4分）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 　 　． 13．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 　 　． 14．（4分）某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 项目 应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 75 80 80 乙 85 80 70 丙 70 78 70 如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5：2：3的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 　 　． 15．（4分）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 　 　． 16．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　 　． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：﹣20+|﹣1|． 18．（8分）解不等式组：． 19．（8分）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD． 20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1． 21．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC． （1）求证：AO∥BE； （2）求证：AO平分∠BAC． 22．（10分）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． （1）求该顾客首次摸球中奖的概率； （2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由． 23．（10分）阅读下列材料，回答问题． 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下： 测量过程： （ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝am，BC＝bm； （ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝m，CN＝m；测得MN＝cm． 求解过程： 由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝， ∴＝＝，又∵①　 　， ∴△CMN∽△CAB，∴． 又∵MN＝c，∴AB＝②　 　（m）． 故小水池的最大宽度为***m． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）小明求得AB用到的几何知识是 　 　； （3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）． 24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求证：C，D，E三点共线； （3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 25．（14分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M． ​ （1）求证：△ADE∽△FMC； （2）求∠ABF的度数； （3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO． 2023年福建省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．【解答】解：2＞1＞0＞﹣1， 故选：D． 2．【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形． 故选：D． 3．【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3， 解得：1＜m＜7， 即符合的只有5， 故选：B． 4．【解答】解：1040000000＝1.04×109． 故选：C． 5．【解答】解：A．（a2）3 ＝a2×3 ＝a6， 则A符合题意； B．a6÷a2 ＝a6﹣2 ＝a4， 则B不符合题意； C．a3•a4 ＝a3+4 ＝a7， 则C不符合题意； D．a2与a不是同类项，无法合并， 则D不符合题意； 故选：A． 6．【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x， 根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85， 故选：B． 7．【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意； B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意； C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意； D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意． 故选：A． 8．【解答】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88， A．平均数是＝73（分钟），故选项错误，不符合题意； B．这组数的众数是67（分钟），故选项正确，符合题意； C．将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70（分钟），故选项错误，不符合题意； D．这组方差为：S2＝×[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]＝30，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 9．【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图： ∵四边形是正方形， ∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴S△AOC＝S△OBD＝＝， ∵点A在第二象限， ∴n＝﹣3， 故选：A． 10．【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， 过A作AM⊥OB于M， 在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°， ∴AM＝OA＝， ∴S△AOB＝OB•AM＝＝， ∴正十二边形的面积为12×＝3， ∴3＝12×π， ∴π＝3， ∴π的近似值为3， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．【解答】解：∵进货10件记作+10， ∴出货5件应记作﹣5， 故答案为：﹣5． 12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO， ∵O为BD的中点， ∴OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴CD﹣DF＝AB﹣BE， ∴CF＝AE＝10． 故答案为：10． 13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝10． 故答案为：10． 14．【解答】解：由题意可得， 甲的成绩为：＝77.5， 乙的成绩为：＝79.5， 丙的成绩为：＝71.6， ∵79.5＞77.5＞71.6， ∴乙将被录取， 故答案为：乙． 15．【解答】解：∵+＝1， ∴+＝＝1， ∴ab＝2a+b， ∴＝＝＝1． 故答案为：1． 16．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1， ∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵y1＜y2， ∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧， 由题意可得：， 不等式组无解； 若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧， 由题意可得：， 解得：﹣1＜n＜0， ∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0． 故答案为：﹣1＜n＜0． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【解答】解：原式＝3﹣1+1 ＝2+1 ＝3． 18．【解答】解：解不等式①，得x＜1． 解不等式②，得x≥﹣3． 所以原不等式组的解集为﹣3≤x＜1． 19．【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB， ∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD， 即∠AOB＝∠COD． 在△AOB 和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD． 20．【解答】解：原式＝• ＝﹣• ＝﹣， 当 时， 原式＝ ＝． 21．【解答】证明：（1）∵AF是⊙O的切线， ∴AF⊥OA， 即∠OAF＝90°， ∵CE是⊙O的直径， ∴∠CBE＝90°， ∴∠OAF＝∠CBE， ∵AF∥BC， ∴∠BAF＝∠ABC， ∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC， 即∠OAB＝∠ABE， ∴AO∥BE； （2）∵∠ABE 与∠ACE 都是所对的圆周角， ∴∠ABE＝∠ACE， ∵OA＝OC， ∴∠ACE＝∠OAC， ∴∠ABE＝∠OAC， 由（1）知，∠OAB＝∠ABE， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴AO平分∠BAC． 22．【解答】解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果， 记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种， ∴， ∴顾客首次摸球中奖的概率为 ； （2）他应往袋中加入黄球；理由如下： 记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 红 黄① 黄② 黄③ 新 红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新 黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新 黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新 黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新 新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③ 共有20种等可能结果， （i）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ； （i）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ； ∵， ∴P1＜P2， ∴他应往袋中加入黄球． 23．【解答】解：（1）①由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝， ∴＝＝， 又∵∠C＝∠C， ∴△CMN∽△CAB， ∴． 又∵MN＝c， ∴AB＝3c（m）． 故答案为：∠C＝∠C； ②3c； （2）求得AB用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质． 故答案为：相似三角形的判定与性质； （3）测量过程：（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β； （ii）用皮尺测得 BC＝am． 求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a． 过点C作 CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△CBD中，， 即 ，所以BD＝acosα． 同理，CD＝asinα． 在Rt△ACD中，， 即 ，所以 ， 所以 ． 故小水池的最大宽度为 ． 24．【解答】（1）解：因为抛物线 y＝ax2+bx+3 经过点A（1，0），B（3，0）， 所以 ， 解得， 所以抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）证明：设直线CE对应的函数表达式为 y＝kx+n（k≠0）， 因为E为AB中点，所以E（2，0）． 又因为C（4，3）， 所以，解得 ， 所以直线CE对应的函数表达式为 ． 因为点 在抛物线上，所以 ． 解得， 或 ． 又因为m＜2，所以 ， 所以 ． 因为 ，即 满足直线CE对应的函数表达式， 所以点D在直线CE上，即C，D，E三点共线； （3）△ABP的面积为定值，其面积为2． 理由如下：（考生不必写出下列理由） 如图1，当C，D分别运动到点 C'D'的位置时，C，D'与D，C'分别关于直线EM对称，此时仍有 C'D'，E三点共线． 设 AD'与 BC'的交点为P′，则P，P′关于直线EM对称，即 PP'∥x 轴． 此时，PP'与AM不平行，且AM不平分线段 PP'， 故P，P'到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP 与△AMP'的面积不相等， 所以△AMP 的面积不为定值． 如图2，当 C，D 分别运动到点 C1D1 的位置，且保持 C1D1，E三点共线．此时AD1 与 BC1 的交点 P1 到直线EM的距离小于P到直线EM的距离， 所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP 的面积不为定值． 又因为△AMP，△MEP，△ABP 中存在面积为定值的三角形，故△ABP 的面积为定值． 在（2）的条件下，∵B（3，0），C（4，3），D（，﹣）， ∴直线BC对应的函数表达式为 y＝3x﹣9；直线AD对应的函数表达式为 ， 由，解得， ∴，此时△ABP 的面积为2． 25．【解答】（1）证明：如图： ∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的， ∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAO＝∠ABC＝45°， ∴∠BAO＝∠DFC， ∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90° ∴∠EDA＝∠M， ∴△ADE∽△FMC； （2）解：设BC与DF的交点为I，如图： ∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC， ∴△BID∽△FIC， ∴，即， ∵∠BIF＝∠DIC， ∴△BIF∽△DIC， ∴∠IBF＝∠IDC， ∵∠IDC＝90°， ∴∠IBF＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°； （3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图： ∵∠FBI＝∠BOA＝90°， ∴BF∥AO， ∴∠FTN＝∠AON． ∵N是AF的中点， ∴AN＝NF， ∵∠TNF＝∠ONA， ∴△TNF≌△ONA（AAS）， ∴NT＝NO，FT＝AO， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC， ∴AO＝CO， ∴FT＝CO， 由（2）知，△BIF∽△DIC， ∴∠DFT＝∠DCO． ∵DF＝DC， ∴△DFT≌△DCO（SAS）， ∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO， ∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF， ∵∠CDF＝90°， ∴∠ODT＝∠CDF＝90°， ∴． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/8/3 14:52:25；用户：15364718236；邮箱：15364718236；学号：32365383 菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序 第21页（共21页）