2022年浙江省丽水市中考数学试卷.doc

2022年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数2的相反数是（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 2．（3分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）计算﹣a2•a的正确结果是（　　） A．﹣a2 B．a C．﹣a3 D．a3 5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　） A． B．1 C． D．2 6．（3分）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（　　） A．28 B．14 C．10 D．7 8．（3分）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　　） A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω 9．（3分）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A．m B．m C．m D．（+2）m 10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB＝，则FG的长是（　　） A．3 B． C． D． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）分解因式：a2﹣2a＝　 　． 12．（4分）在植树节当天，某班的四个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，9．则这组数据的平均数是 　 　． 13．（4分）不等式3x＞2x+4的解集是 　 　． 14．（4分）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　 　． 15．（4分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 　 　cm． 16．（4分）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b． （1）若a，b是整数，则PQ的长是 　 　； （2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是 　 　． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6分）计算：﹣（﹣2022）0+2﹣1． 18．（6分）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝． 19．（6分）某校为了解学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动的时间t（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题： （1）求所抽取的学生总人数； （2）若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t＜4的人数； （3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述． 20．（8分）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形． （1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形； （2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边； （3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1． 21．（8分）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图． （1）求出a的值； （2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式； （3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？ 22．（10分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 23．（10分）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3． （1）若二次函数的图象经过点（3，1）． ①求这个二次函数的表达式； ②若y1＝y2，求顶点到MN的距离； （2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G． （1）求证：∠CAG＝∠AGC； （2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值； （3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长． 2022年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）实数2的相反数是（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：实数2的相反数是﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 2．（3分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看，可得如下图形： 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3．（3分）老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用事件概率的意义解答即可． 【解答】解：∵老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，事件的等可能性有4种，选中甲同学的可能性有一种， ∴选中甲同学的概率是， 故选：B． 【点评】本题主要考查了概率的公式，熟练应用概率的公式是解题的关键． 4．（3分）计算﹣a2•a的正确结果是（　　） A．﹣a2 B．a C．﹣a3 D．a3 【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此判断即可． 【解答】解：﹣a2•a＝﹣a3， 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 5．（3分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E， 则＝，即＝2， 解得：BC＝， 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 6．（3分）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（　　） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可． 【解答】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个． 根据题意可得：＝﹣30， 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键． 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（　　） A．28 B．14 C．10 D．7 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答即可． 【解答】解：∵D、E分别为BC、AC中点， ∴DE＝BF＝AB＝3， ∵E、F分别为AC、AB中点， ∴EF＝BD＝BC＝4， ∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 8．（3分）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　　） A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω 【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例， ∴I＝． ∵已知电灯电路两端的电压U为220V， ∴I＝． ∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A， ∴≤0.11， ∴R≥2000． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键． 9．（3分）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A．m B．m C．m D．（+2）m 【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示， 由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°， ∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m）， ∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m， ∴∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴优弧ADCB所对的圆心角为300°， ∴改建后门洞的圆弧长是：＝， 故选：C． 【点评】本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径． 10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB＝，则FG的长是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，根据cosB＝＝，可得BH＝1，所以AH＝，然后证明AH是BE的垂直平分线，可得AE＝AB＝4，设GA＝GF＝x，根据S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFAD，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q， ∵菱形ABCD的边长为4， ∴AB＝AD＝BC＝4， ∵cosB＝＝， ∴BH＝1， ∴AH＝＝＝， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝2， ∴EH＝BE﹣BH＝1， ∴AH是BE的垂直平分线， ∴AE＝AB＝4， ∵AF平分∠EAD， ∴∠DAF＝∠FAG， ∵FG∥AD， ∴∠DAF＝∠AFG， ∴∠FAG＝∠AFG， ∴GA＝GF， 设GA＝GF＝x， ∵AE＝CD，FG∥AD， ∴DF＝AG＝x， cosD＝cosB＝＝， ∴DQ＝x， ∴FQ＝＝＝x， ∵S梯形CEAD＝S梯形CEGF+S梯形GFAD， ∴（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x， 解得x＝， 则FG的长是． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）分解因式：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　． 【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案． 【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）． 故答案为：a（a﹣2）． 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解． 12．（4分）在植树节当天，某班的四个绿化小组植树的棵数如下：10，8，9，9．则这组数据的平均数是 　9　． 【分析】算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． 【解答】解：这组数据的平均数是＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了算术平均数，掌握平均数的计算方法是解答本题的关键． 13．（4分）不等式3x＞2x+4的解集是 　x＞4　． 【分析】先移项，再合并同类项即可． 【解答】解：3x＞2x+4， 3x﹣2x＞4， x＞4， 故答案为：x＞4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 14．（4分）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　（，﹣3）　． 【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题． 【解答】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3）， 所以A点的坐标是（，﹣3）， 故答案为：（，﹣3）． 【点评】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征． 15．（4分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 　（3﹣3）　cm． 【分析】设EF与BC交于点H，根据旋转的性质证明∠FHO＝90°，可得OH＝OF＝3cm，利用含30度角的直角三角形可得CH＝OC﹣OH＝3cm，FH＝OH＝3cm，然后证明△CHG的等腰直角三角形，可得CH＝GH＝3cm，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，设EF与BC交于点H， ∵O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2， ∴OD＝OF＝OB＝OC＝6cm． ∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°， ∴∠BOD＝∠FOH＝60°， ∵∠F＝30°， ∴∠FHO＝90°， ∴OH＝OF＝3cm， ∴CH＝OC﹣OH＝3cm，FH＝OH＝3cm， ∵∠C＝45°， ∴CH＝GH＝3cm， ∴FG＝FH﹣GH＝（3﹣3）cm． 故答案为：（3﹣3）． 【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 16．（4分）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b． （1）若a，b是整数，则PQ的长是 　a﹣b　； （2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是 　3+2　． 【分析】（1）直接根据线段的差可得结论； （2）先把b当常数解方程：a2﹣2ab﹣b2＝0，a＝b+b（负值舍），根据四个矩形的面积都是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答． 【解答】解：（1）由图可知：PQ＝a﹣b； 故答案为：a﹣b； （2）∵a2﹣2ab﹣b2＝0， ∴a2﹣b2＝2ab，（a﹣b）2＝2b2， ∴a＝b+b（负值舍）， ∵四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b， ∴EP＝，EN＝， 则＝＝＝＝＝＝3+2． 故答案为：3+2． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，矩形的面积，并结合方程进行解答，正确通过解关于a的方程表示a与b的关系是解本题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6分）计算：﹣（﹣2022）0+2﹣1． 【分析】分别根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的意义计算即可． 【解答】解：原式＝3﹣1+ ＝2+ ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键． 18．（6分）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x＝代入计算即可． 【解答】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2） ＝1﹣x2+x2+2x ＝1+2x， 当x＝时，原式＝1+＝1+1＝2． 【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键． 19．（6分）某校为了解学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动的时间t（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题： （1）求所抽取的学生总人数； （2）若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t＜4的人数； （3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述． 【分析】（1）用B类别的人数除以B类别所占百分比即可； （2）用1200乘D所占比例即可； （3）根据统计图的数据解答即可． 【解答】解：（1）18÷36%＝50（人）， 故所抽取的学生总人数为50人； （2）1200×＝240（人）， 答：估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t＜4的人数为240人； （3）由题意可知，该校学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动时间在1≤t＜2占最多数，中位数位于2≤t＜3这一组（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 20．（8分）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形． （1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形； （2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边； （3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1． 【分析】（1）把点B、A向作平移1个单位得到CD； （2）作A点关于BC的对称点D即可； （3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△CED满足条件． 【解答】解：（1）如图1，CD为所作； （2）如图2， （3）如图3，△CDE为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与平移变换． 21．（8分）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图． （1）求出a的值； （2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式； （3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？ 【分析】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题； （2）设直线的表达式为s＝kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问题； （3）根据时间＝路程÷速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵货车的速度是60km/h， ∴a＝＝1.5（h）； （2）由图象可得点（1.5，0），（3，150）， 设直线的表达式为s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得： ， 解得， ∴s＝100t﹣150； （3）由图象可得货车走完全程需要+0.5＝6（h）， ∴货车到达乙地需6h， ∵s＝100t﹣150，s＝330， 解得t＝4.8， ∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h）， ∴货车还需要1.2h才能到达， 即轿车比货车早1.2h到达乙地． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求函数解析式，路程、时间、速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键． 22．（10分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． （1）求证：△PDE≌△CDF； （2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长． 【分析】（1）根据ASA证明两个三角形全等即可； （2）如图，过点E作EG⊥BC于G，由勾股定理计算FG＝3，设CF＝x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，列方程可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， 由折叠得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°， ∴PD＝CD， ∵∠PDF＝∠ADC， ∴∠PDE＝∠CDF， 在△PDE和△CDF中， ， ∴△PDE≌△CDF（ASA）； （2）解：如图，过点E作EG⊥BC于G， ∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4， 在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG＝＝3， 设CF＝x， 由（1）知：PE＝AE＝BG＝x， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， 由折叠得：∠BFE＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝x+3， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2， ∴x2+42＝（x+3）2， ∴x＝， ∴BC＝2x+3＝+3＝． 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题关键． 23．（10分）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3． （1）若二次函数的图象经过点（3，1）． ①求这个二次函数的表达式； ②若y1＝y2，求顶点到MN的距离； （2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可； ②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论； （2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）．判断出AB≥3，把问题转化为不等式解决即可． 【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1）， ∴1＝a﹣1， ∴a＝2， ∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1； ②∵y1＝y2， ∴M，N关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3， ∴x1＝，x2＝， 当x＝时，y1＝2（﹣2）2﹣1＝， ∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝+1＝； （2）设抛物线与X轴的交点为A（m，0），B（n，0）（m＞n）． ∵x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧， 又∵二次函数y的最小值为﹣1， ∴x＝x1或x2时，y的值为0，点M，点N在x轴上或在x轴的下方， ∴AB≥3， ∴m﹣n≥3， 令y＝0，可得a（x﹣2）2﹣1＝0， ∴m＝2+，n＝2﹣， ∴（2+）﹣（2﹣）≥3， ∴≥3， 又∵a＞0， ∴0＜a≤． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 24．（12分）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连结AC，AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G． （1）求证：∠CAG＝∠AGC； （2）当点E在AB上，连结AF交CD于点P，若＝，求的值； （3）当点E在射线AB上，AB＝2，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长． 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）证明CF∥AD，推出＝，可得结论； （3）如图1中，当OF∥AC时，连接OC，BF，设CD交AB于点J，设CE＝CA＝x，BE＝y．利用相似三角形的性质，勾股定理，构建方程组求解即可． 【解答】（1）证明：∵AH是⊙O的切线， ∴AH⊥AB， ∴∠GAB＝90°， ∵A，E关于CD对称，AB⊥CD， ∴点E在AB上，CE＝CA， ∴∠CEA＝∠CAE， ∵∠CAE+∠CAG＝90°，∠AEC+∠AGC＝90°， ∴∠CAG＝∠AGC； （2）解：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴＝， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠CAD＝∠ECD， ∴∠ADC＝∠ECD， ∴CF∥AD， ∴＝， ∵CE＝AC＝AD， ∴＝， ∵＝， ∴＝， ∴＝； （3）解：如图1中，当OF∥AC时，连接OC，BF，设CD交AB于点J，设CE＝CA＝x，BE＝y． ∵OF∥CA， ∴∠FOE＝∠CAE＝∠CEA， ∴FO＝EF＝1， ∵∠EFB+∠CFB＝180°，∠EAC+∠CFB＝180°， ∴∠EFB＝∠EAC， ∵∠FEB＝∠AEC， ∴△EFB∽△EAC， ∴EF：EA＝EB：EC， ∴1•x＝y•（2+y）， ∴x＝y（2+y）①， ∵CE＝CA．AJ⊥AE， ∴AJ＝EJ＝（2+y）， ∵CJ2＝OC2﹣OJ2＝CE2﹣EJ2， ∴12﹣（﹣1）2＝x2﹣（）2， ∴2+y＝x2②， 由①②可得x＝y•x2， ∴x＝， ∴2+y＝， ∴y3+2y2﹣1＝0， ∴（y3+1）+2（y2﹣1）＝0， ∴（y+1）（y2﹣y+1）+2（y+1）（y﹣1）＝0， ∴（y+1）（y2+y﹣1）＝0， ∵y+1≠0， ∴y2+y﹣1＝0， ∴y＝或（舍去）， ∴BE＝， ∴AE＝AB+BE＝2+＝． 【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，垂径定理，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/16 10:05:54；用户：18970568057；邮箱：18970568057；学号：21709328 第27页（共27页）