图形的对称.docx

2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的对称》 一．选择题（共20小题） 1．（2023•赤峰）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（2023•湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 3．（2023•深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（5-1，2） D．（1-5，2） 7．（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 8．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　） A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5） 9．（2023•山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 10．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 11．（2023•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　） A． B． C． D． 12．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．PA+PB的最小值为33 B．PE+PF的最小值为23 C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为33 13．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　） A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6） 14．（2023•连云港）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 15．（2023•金昌）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 16．（2023•新疆）下列交通标志中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 17．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3） 18．（2023•浙江）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 19．（2023•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 20．（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　） A．32 B．85 C．53 D．95 二．填空题（共19小题） 21．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　 　． 22．（2023•通辽）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组2a-b=4-a+2b=-8，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 　 　． 23．（2023•辽宁）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为 　 　． 24．（2023•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB=34，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则S三角形AGES三角形ADG=　 　． 25．（2023•齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 　 　． 26．（2023•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 　 　． ​ 27．（2023•黑龙江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 　 　． 28．（2023•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　 　；DP的最大值为 　 　． 29．（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 　． ​ 30．（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸，重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　 　，最大值为 　 　． 31．（2023•宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　 　． 32．（2023•临沂）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　 　． 33．（2023•新疆）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 　 　． 34．（2023•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　 　． 35．（2023•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若AGGE=73，则tanA＝　 　． 36．（2023•凉山州）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝　 　． 37．（2023•南充）如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2．给出下列四个结论：①CN+NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN=72120．其中正确的结论是 　 　.（填写序号） 38．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 　 　． 39．（2023•自贡）如图，直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-43x+2上的一动点，动点E（m，0），F（m+3，0），连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 　 　． 三．解答题（共5小题） 40．（2023•通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ． （1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝　 　度； （2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． ​ 41．（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM． （1）求证：∠AMB＝∠BMP； （2）若DP＝1，求MD的长． 42．（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段A上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q． （1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积； （2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式． 43．（2023•广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'E展平纸片，连接AB'，BB'，BE′．请完成： （1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成： （3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线． 44．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB． 2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的对称》 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．（2023•赤峰）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；推理能力． 【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF＝∠CDF＝∠QEF，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ＝AM＝4，再求出BQ即可判断②正确；由△CDP∽△BQP 得 CPBP=CDBQ=53，求出BP即可判断③正确；根据 EFDE≠QEBE 即可判断④错误． 【解答】解：由折叠性质可知：∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5， ∵CD∥AB， ∴∠CDF＝∠QEF． ∴∠QDF＝∠QEF． ∴DQ＝EQ＝5．故①正确； ∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB， ∴MQ＝AM＝4． ∵MB＝AB﹣AM＝5﹣4＝1， ∴BQ＝MQ﹣MB＝4﹣1＝3．故②正确； ∵CD∥AB， ∴△CDP∽△BQP． ∴CPBP=CDBQ=53． ∵CP+BP＝BC＝5， ∴BP=38BC=158，故③正确； ∵CD∥AB， ∴△CDF∽△BEF． ∴DFEF=CDBE=CDBQQE=53+5=58． ∴EFDE=813， ∵QEBE=58， ∴EFDE≠QEBE， ∴△EFQ与△EDB不相似． ∴∠EQF≠∠EBD． ∴BD与FQ不平行．故④错误； 故选：A． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．（2023•湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的概念判断． 【解答】解：A、汉字“爱”不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、汉字“我”不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、汉字“中”是轴对称图形，故本选项符合题意； D、汉字“华”不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3．（2023•深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．（2023•长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析． 【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形． 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键． 5．（2023•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可． 【解答】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 6．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（5-1，2） D．（1-5，2） 【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力． 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△D1C1O，求出AB＝CD＝2，连接OC，设BC与OC1交于F，然后求出OC＝OC1＝25，得到C1F＝25-2，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4， ∴OA＝1，OD＝4，BC＝5， ∵AB∥OC1， ∴∠ABO＝∠D1OC1， ∵∠BAO＝∠OD1C1＝90°， ∴△AOB∽△D1C1O， ∴OAAB=D1C1OD1， ∵将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置， ∴OD1＝OD＝4，D1C1＝DC＝AB， ∴1AB=AB4， ∴AB＝2（负值舍去）， ∴CD＝2， 连接OC，设BC与OC′交于F， ∴OC=OD2+CD2=42+22=25， ∵∠FOA＝∠OAB＝∠ABF＝90°， ∴四边形OABF是矩形， ∴AB＝OF＝2，∠BFO＝90°＝∠EFC1，OA＝BF＝1， ∴CF＝5﹣1＝4， 由折叠知，OC1＝OC＝25，EC1＝EC＝CF＝EF＝4， ∴C1＝OC1＝25-2， ∵EF2+C′F2＝EC′2， ∴EF2+(25-2)2=(4-EF)2， 解得EF=5-1， ∴E（1-5，2）， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的关键． 7．（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可． 【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形， 故选：A． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 8．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　） A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【分析】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标． 【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4）， 又∵B2（2，1）， ∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， ∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）． 故选：B． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质． 9．（2023•山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 10．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 11．（2023•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：B、C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 12．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．PA+PB的最小值为33 B．PE+PF的最小值为23 C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为33 【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 【专题】数形结合；等腰三角形与直角三角形；梯形；运算能力；推理能力． 【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B=AA′2+AB2=27，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为23，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE=12AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD=3（m﹣1）2+33，即知四边形ABCD面积的最小值为33，判断选项D正确． 【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图： ∵△ADE和△BCE是等边三角形， ∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°， ∴DE∥BM，CE∥AM， ∴四边形DECM是平行四边形， ∵P为CD中点， ∴P为EM中点， ∵E在线段AB上运动， ∴P在直线l上运动， 由AB＝4知等边三角形ABM的高为23， ∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为3， 作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小， 此时PA+PB最小值A'B=AA′2+AB2=(23)2+42=27，故选项A错误，符合题意； ∵PM＝PE， ∴PE+PF＝PM+PF， ∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度， ∵F为AB的中点， ∴MF⊥AB， ∴MF为等边三角形ABM的高， ∴PE+PF的最小值为23，故选项B正确，不符合题意； 过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图， ∵△ADE和△BCE是等边三角形， ∴KE=12AE，TE=12BE， ∴KT＝KE+TE=12AB＝2， ∴CD≥2， ∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2， ∴DE+CE+CD≥6， ∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意； 设AE＝2m，则BE＝4﹣2m， ∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK=3AK=3m，CT=3BT＝23-3m， ∴S△ADK=12m•3m=32m2，S△BCT=12（2﹣m）（23-3m）=32m2﹣23m+23，S梯形DKTC=12（3m+23-3m）•2＝23， ∴S四边形ABCD=32m2+32m2﹣23m+23+23=3m2﹣23m+43=3（m﹣1）2+33， ∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为33，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出P的运动轨迹是直线l． 13．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　） A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．菁优网版权所有 【专题】平面直角坐标系；几何直观． 【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案． 【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）． 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 14．（2023•连云港）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：中沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，“中”是轴对称图形， 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 15．（2023•金昌）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】由折叠可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行线的性质可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解． 【解答】解：如图，设EG与FH交于点O， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF， ∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD， ∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE， ∴四边形EFGH为菱形， ∴S菱形EFGH=12GE⋅FH=12×2×4=4． 故选：B． 【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键． 16．（2023•新疆）下列交通标志中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：A．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．原图是轴对称图形，故此选项符合题意； C．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合． 17．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】平面直角坐标系；推理能力． 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键． 18．（2023•浙江）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 19．（2023•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．菁优网版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴． 20．（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　） A．32 B．85 C．53 D．95 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力． 【分析】过点M作MG⊥BD于点G，根据勾股定理求得BD＝5，由折叠可知BE＝CE＝EH=12BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CM＝HM，进而得出BE＝EH，∠EBH＝∠EHB，利用等角的余角相等可得∠HDM＝∠DHM，则DM＝HM，于是可得DM＝HM＝CM=12CD=32，由等腰三角形的性质可得DH＝2DG，易证明△MGD∽△BCD，利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，过点M作MG⊥BD于点G， ∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4， ∴AB＝CD＝3，∠C＝90°， 在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=42+32=5， 根据折叠的性质可得，BE＝CE=12BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CE＝EH＝2，CM＝HM， ∴BE＝EH＝2， ∴△BEH为等腰三角形，∠EBH＝∠EHB， ∵∠EBH+∠HDM＝90°， ∠EHB+∠DHM＝90°， ∴∠HDM＝∠DHM， ∴△DHM为等腰三角形，DM＝HM， ∴DM＝HM＝CM=12CD=32， ∵MG⊥BD， ∴DH＝2DG，∠MGD＝∠BCD＝