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2023年内蒙古赤峰市中考数学试卷 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将该选项的序号按要求在答题卡上的指定位置涂黑．每小题3分，共42分） 1．（3分）化简﹣（﹣20）的结果是（　　） A．﹣ B．20 C． D．﹣20 2．（3分）剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）2023年5月19日是第13个“中国旅游日”，文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内旅游出游合计274000000人次，同比增长70.83%．将数字274000000用科学记数法表示为（　　） A．0.274×107 B．2.74×108 C．27.4×107 D．274×108 4．（3分）如图，数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点R D．点S 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（a2b3）2＝a4b6 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣a）3•a＝a4 D．（a+b）2＝a2+b2 6．（3分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑．某校对全校1500名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（　　） A．样本容量是200 B．样本中C等级所占百分比是10% C．D等级所在扇形的圆心角为15° D．估计全校学生A等级大约有900人 7．（3分）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（　　） A．6 B．﹣5 C．﹣3 D．4 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是（　　） A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16 9．（3分）化简+x﹣2的结果是（　　） A．1 B． C． D． 10．（3分）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 11．（3分）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（　　） A． B． C． D． 12．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17 13．（3分）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A．30cm B．30cm C．60cm D．20πcm 14．（3分）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP＝，④BD∥FQ．正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（请把答案填写在答题卡的相应横线上，每小题3分，共12分） 15．（3分）分解因式：x3﹣9x＝　 　． 16．（3分）方程+＝1的解为 　 　． 17．（3分）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是 　 　千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）． 18．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 　 　． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效；解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分） 19．（12分）（1）计算：（3.14﹣π）0﹣（）﹣2+2cos60°﹣|1﹣|+； （2）解不等式组：． 20．（10分）已知：如图，点M在∠AOB的边OA上． 求作：射线MN，使MN∥OB，且点N在∠AOB的平分线上． 作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D． ②分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P． ③画射线OP． ④以点M为圆心，OM长为半径画弧，交射线OP于点N． ⑤画射线MN． 射线MN即为所求． （1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）根据以上作图过程，完成下面的证明． 证明：∵OP平分∠AOB， ∴∠AON＝　 　． ∵OM＝MN． ∴∠AON＝　 　（ 　 　）．（括号内填写推理依据） ∴∠BON＝∠ONM． ∴MN∥OB（ 　 　）．（填写推理依据） 21．（10分）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 22．（12分）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1500元． （1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ （2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 23．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是 　 　； （2）点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 　 　，直线GH的解析式是y2＝　 　，y1＞y2时，x的取值范围是 　 　； （3）如图②，已知点A，B是抛物线y＝﹣x2+x+上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF． （1）求证：CF是⊙O切线； （2）若AF＝10，sinF＝，求CD的长． 25．（14分）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据： 水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 　 　cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 　 　cm； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）． 26．（14分）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN． 【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH； 【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值． 2023年内蒙古赤峰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将该选项的序号按要求在答题卡上的指定位置涂黑．每小题3分，共42分） 1．【解答】解：﹣（﹣20）＝20． 故选：B． 2．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．【解答】解：274000000＝2.74×108． 故选：B． 4．【解答】解：∵9＞7＞4， ∴＞＞， ∴3＞＞2． 故选：B． 5．【解答】解：A．（a2b3）2 ＝（a2）2•（b3）2 ＝a4b6， 则A符合题意； B．3ab﹣2ab＝ab， 则B不符合题意； C．（﹣a）3•a ＝﹣a3•a ＝﹣a4， 则C不符合题意； D．（a+b）2＝a2+2ab+b2， 则D不符合题意； 故选：A． 6．【解答】解：A．50÷25%＝200，即样本容量为200，故本选项不符合题意； B．样本中C等级所占百分比是＝10%，故本选项不符合题意； C．D等级所在扇形的圆心角为：360°×（1﹣60%﹣25%﹣10%）＝18°，故本选项符合题意； D．估计全校学生A等级大约有：1500×60%＝900（人），故本选项不符合题意． 故选：C． 7．【解答】解：原式＝（2a）2﹣32+（2a）2﹣4a+1 ＝2×（2a）2﹣4a﹣32+1 ＝8a2﹣4a﹣9+1 ＝8a2﹣4a﹣8 ＝4（2a2﹣a）﹣8． ∵2a2﹣a﹣3＝0， ∴2a2﹣a＝3， ∴4（2a2﹣a）﹣8＝4×3﹣8＝4． 故选：D． 8．【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE， ∴四边形CFDE是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝＝＝8， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点， ∴CF＝AB＝5， ∵DF∥CE，点F是AB的中点， ∴＝＝，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴点D是AC的中点， ∴CD＝AC＝4， ∵点F是AB的中点，点D是AC的中点， ∴DF是Rt△ABC的中位线， ∴DF＝BC＝3， ∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16， 四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12． 故选：C． 9．【解答】解：原式＝+ ＝ ＝， 故选：D． 10．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝105°， ∴∠A＝75°， ∴∠BOD＝2∠A＝150°， ∵∠BOC＝2∠COD， ∴∠BOD＝3∠COD＝150°， ∴∠COD＝50°， ∴∠CBD＝∠COD＝25°， 故选：A． 11．【解答】解：把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种， ∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是， 故选：D． 12．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5． 故选：C． 13．【解答】解：∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm， 设扇形的圆心角为n度， ∴＝20π， 解得n＝120， ∴∠ABA′＝120°， 作BC⊥AA′于点C， ∴∠BAA′＝30°， ∴AC＝AB×cos30°＝30×＝15（cm）， ∴AA′＝2AC＝30（cm）， ∴这条彩带的最短长度是30cm． 故选：B． 14．【解答】解：由折叠性质可知：∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5， ∵CD∥AB， ∴∠CDF＝∠QEF． ∴∠QDF＝∠QEF． ∴DQ＝EQ＝5．故①正确； ∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB， ∴MQ＝AM＝4． ∵MB＝AB﹣AM＝5﹣4＝1， ∴BQ＝MQ﹣MB＝4﹣1＝3．故②正确； ∵CD∥AB， ∴△CDP∽△BQP． ∴． ∵CP+BP＝BC＝5， ∴，故③正确； ∵CD∥AB， ∴△CDF∽△BEF． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴△EFQ与△EDB不相似． ∴∠EQF≠∠EBD． ∴BD与FQ不平行．故④错误； 故选：A． 二、填空题（请把答案填写在答题卡的相应横线上，每小题3分，共12分） 15．【解答】解：原式＝x（x2﹣9） ＝x（x+3）（x﹣3）， 故答案为：x（x+3）（x﹣3）． 16．【解答】解：方程两边同时乘以（x2﹣4）得： x﹣2+x+6＝x2﹣4， 整理得：x2﹣2x﹣8＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣2， 检验：当x1＝4时，x2﹣4≠0，∴x1＝4是原方程的根， 当x2＝﹣2时，x2﹣4＝0，∴x2＝﹣2是原方程的增根，舍去， ∴x＝4是原方程的根． 故答案为：x＝4． 17．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△ADC中，AC＝6，∠CAB＝60°，，， ∴AD＝AC•cos∠CAB＝6cos60°＝3（千米），（千米）， 在Rt△CDB中，∠CBA＝37°，，， ∴（千米）， ∴（千米）． 答：改造后公路AB的长是9.9千米． 故答案为：9.9． 18．【解答】解：根据D点坐标，有m＝22﹣6×2+5＝﹣3，所，以D点坐标（2，﹣3）， 设BC所在直线解析式为 y＝kx+b，其过点C（0，5）、B（5，0）， ， 解得， BC所在直线的解析式为：y＝﹣x+5， 当E点在线段BC上时，设E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠DCB， ∴∠DCE＝∠CDE， ∴CE＝DE， 因为E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3）， 有， 解得：，，所以E点的坐标为：， 当E在CB的延长线上时， 在△BDC中，BD2＝（5﹣2）2+32＝18， BC2＝52+52＝50，DC2＝（5+3）2+22＝68， BD2+BC2＝DC2， ∴BD⊥BC 如图延长EB至 E'，取 BE'＝BE， 则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'， ∴∠DEE′＝∠DE′E， 又∵∠DEB＝2∠DCB， ∴∠DE′E＝2∠DCB， 则E′为符合题意的点， ∵OC＝OB＝5∠OBC＝45°， E′的横坐标：，纵坐标为 ； 综上E点的坐标为： 和 ． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效；解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分） 19．【解答】解：（1）原式＝1﹣4+2×﹣（﹣1）+× ＝﹣3+1﹣+1+2 ＝﹣1； （2）， 由①得2x＜6， 即x＜3， 由②得1﹣3x≤10， 即﹣3x≤9， 则x≥﹣3， 故原不等式组的解集为：﹣3≤x＜3． 20．【解答】（1）解：如图： （2）证明：∵OP平分∠AOB， ∴∠AON＝∠NOB． ∵OM＝MN． ∴∠AON＝∠ONM（等边对等角）． ∴∠BON＝∠ONM． ∴MN∥OB（ 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠NOB．∠ONM，等边对等角，内错角相等，两直线平行． 21．【解答】解：（1）甲班成绩从高到低排列为：70、71、72、78、79、79、85、86、89、91，故中位数a＝79； 众数b＝79， 乙班的方差为：[2×（85﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+（77﹣80）2+（73﹣80）2+（74﹣80）2+（90﹣80）2+（75﹣80）2]＝27； 故答案为：79，79，27； （2）乙班成绩比较好，理由如下： 两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好； （3）45×+40×＝42（人）， 答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人． 22．【解答】解：（1）设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的销售单价是600元； （2）设销售甲种电子产品m万件，则销售乙种电子产品（8﹣m）万件， 根据题意得：900m+600（8﹣m）≥5400， 解得：m≥2， ∴m的最小值为2． 答：至少销售甲种电子产品2万件． 23．【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2）， ∴矩形ABCD的“梦之点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2， ∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“梦之点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“梦之点”， 故答案为：M1，M2； （2）∵点G（2，2）是反比例函数y1＝图象上的一个“梦之点”， ∴把G（2，2）代入y1＝得k＝4， ∴y1＝， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在y＝x的图象上，联立， 解得或， ∴H（﹣2，﹣2）， ∴直线GH的解析式为y2＝x， ∴y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2， 故答案为：H（﹣2，﹣2），x，x＜﹣2或0＜x＜2； （3）△ABC是直角三角形， 理由：∵点A，B是抛物线y＝﹣上的“梦之点”， ∴， 解得或， ∴A（3，3），B（﹣3，﹣3）， ∵y＝﹣＝﹣（x﹣1）2+5， ∴顶点C（1，5）， ∴AC2＝（3﹣1）2+（3﹣5）2＝8，AB2＝（﹣3﹣3）2+（﹣3﹣3）2＝72，BC2＝（﹣3﹣1）2+（﹣3﹣5）2＝80， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形． 24．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD， ∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴， ∴∠COB＝∠DOB， ∵∠DOB＝2∠DAF， ∴∠COB＝2∠DAF， ∵∠FCD＝2∠DAF， ∴∠FCD＝∠COB， ∵CD⊥AB， ∴∠CEO＝90°， ∴∠COB+∠OCE＝90°， ∴∠FCD+∠OCE＝90°， 即∠OCF＝90°， ∴OC⊥CF， 又OC为⊙O的半径， ∴CF是⊙O切线； （2）解：如图，连接OC， 由（1）知OC⊥CF， ∴， 设OC＝2x，则OF＝3x， ∴OA＝OC＝2x， ∵AF＝10， ∴OA+OF＝10， 即2x+3x＝10， 解得，x＝2， ∴OC＝4， ∵OC⊥CF， ∴∠OCE+∠FCE＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠F+∠FCE＝90°， ∴∠F＝∠OCE， ∴sinF＝sin∠OCE， 在Rt△CEO中，， 即， ∴， 由勾股定理得，， ∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴． 25．【解答】解：（1）描出各点，画出图象如下： （2）①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130 时，函数值相等， ∴对称轴为直线x＝＝90，顶点坐标为（90，49）， ∵抛物线开口向下， ∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm， 当y＝0时，x＝230， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm； 故答案为：49；230； ②设抛物线解析式为y＝a（x﹣90）2+49， 将（230，0）代入得，0＝a（230﹣90）2+49， 解得：a＝﹣0.0025， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49； （3）当OA＝28.75 时，抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为（h﹣28.75）cm， ∴平移后的抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75， 当x＝274 时，y＝0， ∴﹣0.0025（274﹣90）2+49+h﹣28.75＝0， 解得：h＝64.39； 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm． 26．【解答】【探究一】证明：∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上， ∴CM＝CH，∠MCH＝90°， ∴∠NCH＝∠MCH﹣∠MCN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MCN＝∠HCN， 在△CNM和△CNH中， ， ∴△CNM≌△CNH（SAS）， ∴∠CNM＝∠CNH； 【探究二】证明：如图所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA＝45°， ∵∠MCN＝45°， ∴∠FBN＝∠FCE＝45°°， ∵∠EFC＝∠BFN， ∴∠CEF＝∠FNB， ∵∠CNM＝∠CNH， ∴∠CEF＝∠CNM， ∵公共角∠ECF＝∠NCM， ∴△CEF∽△CNM； 【探究三】解：∵AC，BD是正方形的对角线， ∴∠CDE＝∠CDA+∠EDM＝135°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝135°， ∴∠CDE＝∠CAN， ∵∠MCN＝∠DCA＝45°， ∴∠MCN﹣∠DCN＝∠DCM﹣∠DCN， 即∠ECD＝∠NCA， ∴△ECD∽△NCA， ∴∠CED＝∠CNA，＝＝， 如图所示，将△DMC绕点C顺时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上， ∴MC＝GC，∠MCG＝90°， ∴∠∠NCG＝∠NCM＝45°， ∵CN＝CN， ∴△NCG≌△NCM（SAS）， ∴∠MNC＝∠GNC， ∵∠CNA＝∠CEF， ∴∠CNM＝∠CEF， ∵∠ECF＝∠NCM， ∴△ECF∽△NCM， ∴＝＝＝， 即＝． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/8/3 14:32:29；用户：beishishuxue9；邮箱：beishishuxue9@；学号：20035950 第24页（共24页）