2023年四川省乐山市中考数学试卷.doc

2023年四川省乐山市中考数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）计算：2a﹣a＝（　　） A．a B．﹣a C．3a D．1 2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（　　） A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3） 4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（　　） A．9×108 B．9×109 C．9×1010 D．9×1011 5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（　　） A．100 B．150 C．200 D．400 6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（　　） A．2 B． C．3 D．4 7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝​（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论： ①b＜0； ②a+b＞0； ③0＜a＜﹣c； ④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2． 其中，正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）不等式x﹣1＞0的解集是　 　． 12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 　 　． 13．（3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 　 　． 14．（3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝　 　． 15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝　 　． 16．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”． （1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　 　； （2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 　 　． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（9分）计算：|﹣2|+20230﹣． 18．（9分）解二元一次方程组：． 19．（9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD． ​ 20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF． ​（1）求证：四边形ECFD是矩形； （2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离． 21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？ 22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示． 家务类型 洗衣 拖地 煮饭 刷碗 人数（人） 10 12 10 m 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）m＝　 　； （2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 　 　； （3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求m的值和一次函数的表达式； （2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标． ​ 24．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE． ​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线； （2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长． 25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容： 如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到： AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′； ∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____） 刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学． 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　 　； （2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置． ①请在图中作出点O； ②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 　 　； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题． ​ 26．（13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2． （1）求b的值； （2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）． 当0≤x≤2时，探究下列问题： ①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围． 2023年四川省乐山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1．【解答】解：2a﹣a＝a． 故选：A． 2．【解答】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意； B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意； C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意； D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意； 故选：C． 3．【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3， ∴点（﹣1，3）不在函数y＝2x﹣1图象上； B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1， ∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1图象上； C．当x＝1时，y＝2×1﹣1＝1， ∴点（1，﹣1）不在函数y＝2x﹣1图象上； D．当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3， ∴点（2，3）在函数y＝2x﹣1图象上； 故选：D． 4．【解答】解：9000000000＝9×109． 故选：B． 5．【解答】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为500×＝200（人）， 故选：C． 6．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD， ∵AC＝6，BD＝8， ∴OC＝3，OB＝4， ∴CB＝＝5， ∵E为边BC的中点， ∴OE＝BC＝． 故选：B． 7．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝8， ∵x1＝3x2， 解得x1＝6，x2＝2， ∴m＝x1x2＝6×2＝12． 故选：C． 8．【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b， 由题意可得：c2＝25，b﹣a＝＝1，a2+b2＝c2， 解得a＝3，b＝4，c＝5， ∴sinθ＝＝， 故选：A． 9．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0，故①正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∵抛物线经过点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣a， ∵当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0， ∴4a+2b+b﹣a＞0， ∴3a+3b＞0， ∴a+b＞0，故②正确； ∵a﹣b+c＝0， ∴a+c＝b， ∵b＜0， ∴a+c＜0， ∴0＜a＜﹣c，故③正确； ∵点C（﹣，y1）到对称轴的距离比点D（，y2）到对称轴的距离近， ∴y1＜y2，故④的结论错误． 故选：B． 10．【解答】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC， ∵CD＝，OC＝OD＝1， ∴OC2+OD2＝CD2， ∴△OCD为等腰直角三角形， 由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2）， ∴OA＝OB＝2， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴AB＝2，OQ＝， 由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大， ∵P为中点， ∴OP＝， ∴PQ＝OP+OQ＝， ∴S△ABP＝AB•PQ＝3． 故选：D． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11．【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1． 12．【解答】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数为160， 故答案为：160． 13．【解答】解：∵∠AOC＝140°， ∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠BOC＝20°， 故答案为：20°． 14．【解答】解：∵3m﹣n﹣4＝0， ∴3m﹣n＝4， ∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m﹣n＝24＝16． 故答案为：16． 15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵， ∴设AE＝2a，则BE＝3a， ∴AB＝CD＝5a， ∵AB∥CD， ∴△AEF∽△CDF， ∴＝， ∴＝， 故答案为：． 16．【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”， ∴， 消去t得到m2+4m﹣21＝0， 解得m＝﹣7或3， ∵x≠y， ∴m＝﹣7； 故答案为：﹣7； （2）∵双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”， ∴， ①﹣②得（x+）（x﹣）＝﹣4（x﹣）， ∴（x﹣）（x++4）＝0， ∵x≠y， ∴x++4＝0， 整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4， ∵﹣3＜x＜﹣1， ∴3＜k＜4． 故答案为：3＜k＜4． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【解答】解：原式＝2+1﹣2 ＝1． 18．【解答】解：， ①×2得：2x﹣2y＝2③， ②+③得：5x＝10， 解得：x＝2， 把x＝2代入①中得：2﹣y＝1， 解得：y＝1， ∴原方程组的解为：． 19．【解答】证明：∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴AC＝BD． 20．【解答】（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE， ∴四边形ECFD为平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形ECFD为矩形； （2）解：过点C作CH⊥EF于H， 在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4， ∴EF＝＝＝2， ∵S△ECF＝×CF•CE＝×EF•CH， ∴CH＝＝， ∴点C到EF的距离为． 21．【解答】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵， 根据题意得：﹣＝2， 解得：x＝500， 经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种植梨树500棵． 22．【解答】解：（1）因为被调查的总人数为10÷25%＝40（人）， 所以m＝40﹣（10+12+10）＝8， 故答案为：8； （2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为360°×＝108°， 故答案为：108°； （3）列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果， 所以所选同学中有男生的概率为＝． 23．【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数 的图象上， ∴， ∴m＝1， ∴A（1，4）， 又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+3； （2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3， ∴OB＝3， ∵C（0，3）， ∴OC＝3， 过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D， ∵S△OBP＝2S△OAC， ∴，即， 解得PD＝2， ∴点P的纵坐标为2或﹣2， 将y＝2或﹣2代入 得x＝2或﹣2， ∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）． 24．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∵AD＝AE， ∴∠E＝∠D， ∵∠B＝∠D， ∴∠E＝∠B， ∵CA＝CE， ∴∠E＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠B， ∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴直线AE是⊙O是的切线． （2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°， ∵∠E＝∠CAE＝∠B， ∴＝sinB＝sinE＝＝， ∵OA＝OB＝3， ∴AB＝6， ∴CE＝CA＝AB＝×6＝4， ∴CF＝CE＝×4＝， ∴AF＝BF＝＝＝， ∴AD＝AE＝2AF＝2×＝， ∴AD的长是． 25．【解答】解：【问题解决】 （1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等， 故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等； （2）①如图： 作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求； ②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'， ∴△BOB'是等腰直角三角形， ∵BB'＝6， ∴OB＝＝3， ∵＝（cm）， ∴点B经过的路径长为cm， 故答案为：cm； 【问题拓展】 连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，如图： ∵点P为中点， ∴∠PAB＝， 由旋转得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4， 在Rt△PAM中，PM＝PA•sin∠PAM＝4×sin30°＝2， ∴A'M＝PA'﹣PM＝4﹣2＝2， 在Rt△A′DM中， A'D＝＝＝，DM＝A'D＝， ∴S△A'DP＝××4＝； S扇形PA'B'＝＝， 下面证明阴影部分关于PD对称： ∵∠PAC＝∠PA'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM， ∴∠AND＝∠A'MD＝90°， ∴∠PNA'＝90°， ∴PN＝PA'＝2， ∴AN＝PA﹣PN＝2， ∴AN＝A′M， ∴△AND≌△A'MD（AAS）， ∴AD＝A′D， ∴CD＝B'D， ∵PD＝PD，PB'＝PC， ∴△PB′D≌△PCD（SSS）， ∴阴影部分面积被PD等分， ∴S阴影＝2（S扇形PA'B'﹣S△A'DP）＝2（﹣）＝（cm2）． ∴两个纸板重叠部分的面积是cm2． 26．【解答】解：（1）由题可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2， ∵当x1+x2＝0 时，总有 y1＝y2， ∴﹣+bx1＝﹣+bx2， 整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0， ∵x1≠x2， ∴x1﹣x2≠0， ∴x1+x2﹣4b＝0， ∴b＝0； （2）①注意到抛物线 C2 最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移． 下面考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线 C2 过点（0，0）时，如图1所示， 此时，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）． （i）当抛物线 C2 过点（2，﹣1）时，如图2所示， 此时，x＝2， 解得 或 （舍）． 综上所述，2≤m≤2+2； ②同①考虑满足题意的两种临界情形： （i）当抛物线 C2 过点（0，﹣1）时，如图3所示， 此时，x＝0，，解得 或 （舍）． （ii）当抛物线 C2 过点（2，0）时，如图4所示， 此时，x＝2，，解得 m＝4 或0（舍）． 综上所述，． 如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上， ，解得 xA＝m﹣2，xB＝m+2， ∴HB＝m+2﹣m＝2， ∵FB＝FC． ∴FH2+HB2＝FG2+GC2， 设FH＝t， ∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2， ∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0， ∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0， ∵m≥2， ∴﹣1≠0， ∴，即 ， ∵ ∴，即＜FH≤， ∵EF＝FH+1， ∴． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/8/3 14:58:41；用户：15364718236；邮箱：15364718236；学号：32365383 菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序 第23页（共23页）